1r ciclo Ecuacion integro diferencial transformada de Laplace

[kuvala]

Hola Buenas

A ver si me pudieran ayudar a resolver esta ecuación, porque la verdad es que me quedo atascado.

La ecuación es la siguiente:

$y(t)+{\int}_{0 }^{t}{(t-v)}^{2 }y(v)dv={t}^{3 }+3$

Lo que yo he hecho:

$\mathcal L\left\{ y(t) \right\}=Y(s)$

$\dst Y(s)+\mathcal L\left\{ {t}^{2 }*y(t) \right\}=\frac{3!}{s^4 }+\frac{3}{s }$

$\dst Y(s)=\frac{6}{s(s^3+2) }+\frac{3s^2}{ s^3+2}$

o de esta otra manera

$\dst Y(s)=\frac{6s^3+12+3s^2}{s(s^3+2)^2 }$

Las dos últimas expresiones son equivalentes, pero no sé cómo obtener la anti transformada de ninguna de las dos

Muchas Gracias

Un Saludo

[[Beto]]

Re: Ecuacion integro diferencial transformada de Laplace

Toma en cuenta que:

$$Y(s)=-\frac{3\,{s}^{2}}{{s}^{3}+2}+\frac{3\,s}{{\left( {s}^{3}+2\right) }^{2}}+\frac{3}{s}$$

Luego:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3\,{s}^{2}}{{s}^{3}+2}\right\}=&2\,e^{\dfrac{t}{{2}^{\frac{2}{3}}}}\,\mathrm{cos}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{{2}^{\frac{2}{3}}}\right) +{e}^{-{2}^{\frac{1}{3}}\,t}\\<br /> \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3\,s}{{\left( {s}^{3}+2\right) }^{2}}\right\}=&e^{\dfrac{t}{2^\frac{2}{3}}}\,\left( \frac{\mathrm{sin}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{{2}^{\frac{2}{3}}}\right) }{{2}^{\frac{4}{3}}\,\sqrt{3}}+\frac{\mathrm{cos}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{{2}^{\frac{2}{3}}}\right) }{3\,{2}^{\frac{4}{3}}}\right) -\frac{{e}^{-{2}^{\frac{1}{3}}\,t}}{3\,{2}^{\frac{4}{3}}}\\&-t\frac{{e}^{\frac{t}{{2}^{\frac{2}{3}}}}\,\mathrm{cos}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{{2}^{\frac{2}{3}}}\right) }{3}-t\frac{{e}^{-{2}^{\frac{1}{3}}\,t}}{6}\\<br /> \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s}\right\}=&3<br /> \end{aligned}<br />$$

[kuvala]

Re: Ecuacion integro diferencial transformada de Laplace

Muchas gracias por la respuesta. Me ha servido de mucho. Sin embargo, todavía no sé cómo obtienes la transformada inversa de la primera fracción y la segunda de Y(s). ¿Me podrías decir qué propiedades has usado?

Yo lo que he hecho ha sido lo siguiente:

$$\dst {\mathcal L}^{-1 }\left\{ \frac{-3s^2}{s^3+2 } \right\}=-3{\mathcal L}^{-1 }\left\{ s^2\frac{1}{ s^3+2} \right\}$$

$$\dst -3{\mathcal L}^{-1 }\left\{ \frac{{s}^{\frac{3}{2 } }}{{({s}^{\frac{3}{2 } })}^{2 }+{(\sqrt{2})}^{2 } } {s}^{\frac{1}{2 } }\right\}=-3(cos(\sqrt{2}t)*{\mathcal L}^{-1 }\left\{ {s}^{\frac{1}{2 } } \right\})$$

Ahí me he quedado porque no sé como antitrasnformar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Muchas gracias.

Un Saludo

[[Beto]]

Re: Ecuacion integro diferencial transformada de Laplace

Para eso tienes que separar en fracciones parciales, nota que el denominador es una suma de cubos.

- - - Actualizado - - -

PD: Se me acaba de ocurrir que también puede salir por convulución, pero no se si sea más fácil.