2o ciclo Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

[rruisan]

1.- Tengo la siguiente ecuación diferencial compleja, se que puedo hacer el cambio a funciones trigonométrica y resolverlo, pero me gustaría aprender hacerlo para este caso, si me pueden orientar por favor.

$\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)\frac{dy}{dx}+y\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)=1$



2. MI otra duda es como se, en que en que intervalo esta definido la siguiente funcion $y=\cos x +\frac{\sin x}{x}+\frac{c}{x}$

Gracias de antemano.

[[Beto]]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

Para dos nota que equis por estar en un cociente no puede tomar el valor de cero, las demás funciones que forman parte de la función total si pueden existir para cualquier número real.

PD: No se ve la primera ecuación.

[rruisan]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

ahí esta la ecuación, gracias por la observación.

[[Beto]]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

Ok, entonces es relativamente sencillo, toma en cuenta que $e^{ix}=\cos x+i \sin x$

[rruisan]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

entonces Beto, la única forma de resolverlo es desarrollando la forma de euler? o lo puedo hacer con solo los exponenciales, que es lo quería hacer y aprender. Gracias de antemano.

[guibix]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

Piensa que la suma de exponenciales no se puede simplificar más si los sumandos no son idénticos. Hacerlo por Euler es lo más apropiado.

Si te paras a calcularlo, verás que las dos funciones con exponenciales en tu fórmula son precisamente las definiciones exponenciales de seno y coseno:

$$\cos x\equiv\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},$$

$$\sin x\equiv\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$$

Substituyendo esto, lo que te quedaría sería

$$\cos x \frac{\dd y}{\dd x}+y\sin x=1.$$

A partir de aquí, te servirá la identidad

$$\cos^2x+\sin^2x=1.$$

Puedes ver a simple vista qué funciones son $\frac{\dd y}{\dd x}$ e $y.$

Saludos.

[rruisan]

Re: Ecuaciones diferencial compleja e intervalo definido

gracias Guibix! tenia la esperanza de que se podía resolver sin utilizar funciones trigonométricas.