1r ciclo aplicación de RK2

[Physicist]

Muy buenas!

Estoy preparando un examen de EDO's y la última parte es resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Me iba todo bien hasta que he intentado aplicar Runge-Kutta de orden 2 y el resultado que me da ni se acerca al correcto.

La ecuación es $y' = xy^{1/3}$ con la condición inicial de y(1) = 1

Para hallar y(2) con un paso de h=1 he escrito:

$y(2)= 1 + \frac{1}{2}(1*1^{1/3}+(1+1)(1^{1/3}+1(1*1^{1/3})))$

¿Podrías decirme que está mal? Llevo un rato intentando dilucidar donde está mi fallo pero no se...

Si no entendeis que he puesto en la fórmula decidme que lo especifico más.

Gracias!!

[arivasm]

Re: aplicación de RK2

La verdad es que no veo claramente cómo aplicas el método. Yo lo haría de esta manera (usaré estas notaciones):
$k_1=hF(x_i,y_i)=1\cdot F(1,1)=1\cdot 1\cdot 1^{1/3}=1$
$y_{i+1}=y_i+hF(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{k_1}{2})=1+1\cdot F(1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2})=1+F(\frac{3}{2},\frac{3}{2})=1+\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{1/3}$
Con lo que el valor que sale es 2,717

[ZYpp]

Re: aplicación de RK2

El error teórico mínimo para Runge-Kutta de orden dos viene dado por la siguiente expresión:

$$y_{i+1}=y_i + h\left( \frac{1}{4}k_1 + \frac{2}{3}k_2 \right)$$

$$k_1=f_i\left(y_i , t_i\right)$$

$$k_2=f_i\left(y_i + \frac{3}{4}hk_1 , t_i + \frac{3}{4}h \right)$$

Para este problema...

$k_1=1\cdot 1^{1/3}=1$
$k_2= \left(1+ 3/4 \right) \cdot \left( 1+3/4 \right)^{1/3}=2.1089$
$y\left( 2 \right) = 1 + 1/4 + 2/3 \cdot 2.1089 = 2.6559$

Me parece muy distinto a lo vuestro, así que si veis que estoy equivocado avisadme. Saludos.

[Physicist]

Re: aplicación de RK2

Gracias por las respuestas!!

Pero tengo todos los apuntes con otra notación y cambiarlo todo ahora a pocos días del examen acabaría siendo un desastre todo xDD
Los números los he sustituido en la fórmula que me dieron que es:

$y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n} + h, y_{n} + hf(x_n,y_n)))$

Si muy pudierais decir que es lo que he puesto mal respecto a esta notación seria genial!

(Pd: el resultado que me dicen que tiene que dar es 2,76)

[arivasm]

Re: aplicación de RK2

Tenéis razón: ciertamente hay varios métodos de Runge-Kutta de orden 2.

Quizá tu problema esté en tratar de usar una expresión incómoda de aplicar, de manera que puede que resulte más claro para aplicar el método que indicas si usamos una notación intermedia (al estilo de cualquiera de las dos que indicamos antes). Así, llamemos $q=y_n+h f(x_n,y_n)$, de manera que tu expresión sea $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},q)\right]$.

En tu caso será $q=1+1\cdot f(1,1)=1+1\cdot 1\cdot 1^{1/3}=2$ y entonces $y_{n+1}=1+\frac{1}{2}\left[f(1,1)+f(2,2)\right]=1+\frac{1}{2}\left(1\cdot 1^{1/3}+2\cdot 2^{1/3}\right)=2,76$