1r ciclo ¿Cómo planteo esta ecuación?

[InesIncinerate]

¡Hola de nuevo! Veréis, tengo ciertos problemillas a la hora de plantear una ecuación diferencial. El enunciado dice así: ¿Qué curva cumple que el producto del cuadrado de la distancia entre cualquiera de sus puntos y el origen de coordenadas, por el segmento interceptado sobre el eje de las abscisas por la normal en el punto mencionado y el origen, es igual al cubo de la abscisa en el punto?

No sé si es cosa mía, pero lo cierto es que lo veo un poco abstracto todo xD Yo he interpretado lo siguiente: La distancia entre cualquiera de los puntos y el origen es el módulo, es decir, $\sqrt{(x^2)+(y^2)}$. Si la elevamos al cuadrado, se nos va la raíz y queda $x^2+y^2$. Esto que viene ahora, el segmento interceptado sobre el eje de las abscisas por la normal en el punto mencionado y el origen, yo lo he sustituido por la subnormal (erjerjer), que es $y'y$, y luego lo he igualado todo a $x^3$.

El resultado final es este: $(x^2+y^2)y'y=x^3$

Sin embargo, al resolver ésta con Wolfram, me sale una solución apoteósica, cuando debería darme algo tan sencillo como: $y^2(y^2+2x^2)=K$, lo que me lleva a pensar que está mal planteada desde el principio. ¿Podríais decirme en qué me equivoco? Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: ¿Cómo planteo esta ecuación?

Caray con el enunciado! vaya palabrería!. Como es de esperar, la clave está en la frasecita "el segmento interceptado sobre el eje de las abscisas por la normal en el punto mencionado y el origen" que entiendo que se refiere a "la coordenada x del punto en el que la normal en el punto mencionado corta al eje X" (es decir, la abscisa en el origen de la recta normal a la curva).

Ten en cuenta que la pendiente de la normal no es y', sino -1/y'. Por tanto, (pondré un subíndice 0 para referirme, de manera auxiliar, al punto de cálculo), la ecuación de la normal es $\dst y-y_0=-\frac{1}{y'_0}(x-x_0)$. Haciendo y=0 y x=d tenemos que la distancia de marras será $d=x_0+y_0y'_0$, de manera que el factor en cuestión será $x+yy'$.

Debo decir que no he verificado que de esa manera dé la solución que pones.

[InesIncinerate]

Re: ¿Cómo planteo esta ecuación?

Pues sí, la verdad es que de primeras no sabía si el ejercicio se dirigía a mí o si estaba invocando a Belcebú. Ni que estudiáramos desencriptación de lenguajes (o Farmacia, así más adaptado al siglo XXI)... Sustituyendo la fórmula que me has dado en la ecuación he obtenido una solución muy parecida a la que tenía que darme, fijo que me he equivocado en alguna suma tonta. Con unos ajustillos está resuelta, ¡gracias!

[Breogan]

Re: ¿Cómo planteo esta ecuación?

Hola:

Hace trampa, deriva respecto de x la solución que te dan y reconstruí la ecuación diferencial que te piden, después interpretas el enunciado.

Suerte