Otras carreras ecuacion de segundo orden

[LauraLopez]

$\dst \frac{{d}^{2 }x}{d t^2 } + a_1 \frac{d x}{dt } + a_0 x = f(t)$

Encuentre la respuesta natural si a_1 = 14 , a_0 = 49 , x(0)= 0 , $\frac{d x}{dt }|_0 = 4$

Bueno la ecuacion caracteristica es $S^2 + 14 s + 49 = 0$cuya solucion es s= -7

Asi que la solucion seria

$\dst x_n(t) = k {e}^{-7 s }$

y luego como la derivada de x respecto al tiempo en t= 0 vale 4 tengo que :

$\dst k {e}^{0 } (-7) = 4$

entonces k = - 4/7

Esta bien? me llama la atencion que nunca uso el dato de que x(0)= 0

Gracias

[arivasm]

Re: ecuacion de segundo orden

Lo que sucede es que tienes una raíz doble. En tal caso, la solución general no es $\dst x=k_1\ee^{r_1 t}+k_2\ee^{r_2 t}$, como pasa si tienes dos raíces diferentes, $r_1\neq r_2$. La solución general es de la forma $x=(k_1 t+ k_2)\ee^{r t}$.

Es decir, debes manejar $x=(k_1 t+ k_2)\ee^{-7 t}$

[LauraLopez]

Re: ecuacion de segundo orden

ahh entonces lo que hice para llegar al numero 7 tambien esta mal no?

aunque igualmente veo que vos decis que da 7 como se hace ?

Porque para llegar al numero 7 lo que yo hice fue decir :

La solucion tentativa es :

$\dst x_n(t) = k {e}^{st }$

Entonces sustituyendo esta solucion en la ecuacion diferencial a satisfacer tengo que :

$\dst k {e}^{st } (s^2 + 14 s + 49 ) = 0$

De aca entonces tengo que $\dst s^2 + 14 s + 49 = 0$

cuya solucion es s= - 7 (raiz doble)

Entonces como vez encontre esa solucion sin usar la formula esa que vos me indicas, esta bien igualmente lo que hice ?

Loo que tendria que decir ahora es que la solucion en realidad entonces es :

$\dst x_n(t)= (k_1 t + k_2) {e}^{-7t }$

Pero lo que hice antes esta bien igual? y ahora encuentro k_1 y k_2 usando los datos de las condiciones iniciales no? yt se me anula un termino porque me da que k_2 = 0 y k_1 = 4

[arivasm]

Re: ecuacion de segundo orden

En una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, homogénea y con coeficientes constantes, es decir, de la forma $a\ddot x+b\dot x+c=0$ se llama ecuación característica a la ecuación $ar^2+br+c=0$. Dependiendo de cuáles sean sus raíces, que llamaré $r_1$ y $r_2$ serán diferentes las soluciones de la ecuación diferencial.

Si ambas son reales y diferentes (lo que significa que $b^2-4ac>0$), entonces la solución general de la ecuación será de la forma $x=C_1\ee^{r_1 t}+C_2\ee^{r_2 t}$

Si ambas son reales e iguales (es decir, si $b^2-4ac=0$), la solución general será de la forma $x=(C_1 t+C_2)\ee^{r t}$, donde $r$ representa a la raíz doble.

Si las raíces son complejas (es decir, si $b^2-4ac<0$) entonces serán de la forma $r_1=\alpha+\beta i$ y $r_2=\alpha-\beta i$, donde $\alpha=-b/(2a)$ y $\beta=(\sqrt{4ac-b^2})/(2a)$. La solución general entonces es como en el primer caso, $x=C_1\ee^{r_1 t}+C_2\ee^{r_2 t}$, salvo que ahora tendremos exponentes complejos. Esto equivale a decir que la solución es de la forma $\ee^{\alpha t}(D_1\cos\beta t+D_2\sin\beta t)$

[LauraLopez]

Re: ecuacion de segundo orden

ahh ok lo tengre en cuenta para futuros ejercicios y entonces creo que este ya queda resuelto