Otras carreras segundo orden respuesta natural

[LauraLopez]

Escriba una ecuacion diferencial no forzada de segundo orden con respuesta natural $\dst k_1 {e}^{-t } \sin 2t + k_2 {e}^{-t } \cos 2t$ . Encuentre $k_1$ y $k_2$ si las condiciones iniciales son x(0)=0 y $\frac{dx}{dt } |_0 = 4$

no tengo idea de como resolverlo.....alguien sabe hacerlo?

Gracias

[Al2000]

Re: segundo orden respuesta natural

Primero, déjame decirte que hallar las constantes k1 y k2 no es mas que sustituir los valores en la ecuación que te dan y resolver. Por ejemplo, x(0) = 0 implica que k2 = 0...

Para obtener la ecuación diferencial sería mas cómodo escribir la expresión que te dan como $\dst x_{(t)} = \ee ^{-t}(k_1 \, \mathrm {sen} \, 2t + k_2 \cos 2t)$. En la derivada de este producto, el primer término de la suma reproduce la función original (con el signo alternando cada vez que derivas) y el segundo sumando reproduce la función original cada dos derivadas (multiplicada por -4).

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: segundo orden respuesta natural

...me podes explicar un poco mas detallado? porque no entendi y no veo cual es la idea para resolverlo....

yo lo estaba pensando de otra manera pero no llegaba a nada... esta ecuacion creo que se corresponde a un caso subamortiguado no? tengo que la formula para la frecuencia natural no amortiguada es $\dst w_0 = \sqrt{a_0}$ entonces $a_0 = 4$

Despues tambien se que $\gamma = \frac{a_1}{2 \sqrt{a_0} }$ que es la proporcion de amortiguacion. (en realidad el libro no usa gamma sino otra letra rara que no se cual es y no veo que este aca para usar) , igualmente con esta ecuacion no veo que pueda hacer algo util asi que capaz estoy resolviendolo mal..... pero como seria entonces? porque hablas de hacer una derivada?

[Al2000]

Re: segundo orden respuesta natural

Si

$$x_{(t)} = \ee ^{-t}(k_1 \, \mathrm {sen} \, 2t + k_2 \cos 2t)$$

entonces

$$\frac d {dt} x_{(t)} = -\underbrace {\ee ^{-t}(k_1 \, \mathrm {sen} \, 2t + k_2 \cos 2t)}_{x_{(t)}} + 2 \ee ^{-t}(k_1 \cos 2t - k_2 \, \mathrm {sen} \, 2t)$$

Derivando de nuevo

$$\frac {d^2} {dt^2} x_{(t)} = -\frac d {dt} x_{(t)} - \underbrace {2 \ee ^{-t}(k_1 \cos 2t - k_2 \, \mathrm {sen} \, 2t)}_{\frac d {dt} x_{(t)} + x_{(t)}} -4 \underbrace {\ee ^{-t}(k_1 \, \mathrm {sen} \, 2t + k_2 \cos 2t)}_{x_{(t)}}$$

es decir

$$\frac {d^2} {dt^2} x_{(t)} = - 2\frac d {dt} x_{(t)} -5 x_{(t)}$$

Espero te sirva. Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: segundo orden respuesta natural

ahhh ahi entendi lo que querias decir o sea eso directamente ya es la solucion , y a su vez tengo que decir que k_2 = 0 y k_1 = 2

[Al2000]

Re: segundo orden respuesta natural

Eso creo...