2o ciclo Ecuaciones Diferenciales Parciales

[rruisan]

Buenos días, estoy tratando de resolver un ejercicio de ecuaciones diferenciales parciales por el método de separación de variables. Mi duda es en las condiciones que se establecen ¿como se? que caso de $\lambda^2$ debo utilizar utilizar. Si es el caso $\lambda^2 >0$, $\lambda^2 <0$ ò $\lambda^2=0$. Cheque algunos ejemplos en algunos libros pero, en los ejemplo que viene cuando utilizan el valor de lambda negativo o positivo dice que lo resuelven con ese signo por conveniencia, y para mi ejercicio no se, que caso tengo. Y me queda duda de porque se toma el valor cuadrado de lambda. Gracias de antemano.

Este es el ejercicio:

Encuentre la solucion en forma del producto, con la condiciones dadas

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$

Para, $u(0,y)=0, \,\, u(x,0)=0,\,\, u(x,1)=0$

[Umbopa]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales

u = X Y

X''/X = - Y''/Y = lambda ^2

El signo de lambda^2 viene directamente determinado por las condiciones de contorno . Si por ejemplo la solución de la dirección "y" tiene condiciones de contorno nulas en los extremos y=0 y y=1 , las soluciones en esta dirección han de ser oscilatorias por lo tanto lambda^2 > 0 .
Si las condiciones de contorno en y=0 es igual a un número finito y en y = 1 es nulo , entonces lambda^2 < 0 para que las soluciones sean decrecientes y se puedan cumplir las condiciones de contorno.

En tus condiciones , falta una de ellas . Te falta decir cual es el comportamiento asintótico en x-> infinito o decir que vale u(L,y) . De todas formas piensa que en la dirección x la solución son exponenciales ya que en la dirección y son oscilatorias.

Otra cosa a tener en cuenta es que u(L,y) no puede ser nulo ya que entonces solo tendrias la solución trivial u = 0 . Recuerda que la ecuación de laplace cumple el principio de módulo máximo y que u toma sus valores máximo y mínimo en los contornos . Si en todos los contorno las función vale cero , la única solución en u = 0 para todo x,y .

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Gracias Atrode, pero aun no me queda claro la explicacion que das, puedes explicarmelo con mas detalle a que te refieres en el primer párrafo cuando me explicas sobre el signo de lambda por favor, de lo otro que mencionas mi ejercicio no menciona nada del comportamiento asintótico de x.
Gracias de antemano.

[Umbopa]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Si , a ver tu piensa en las oscilaciones en una cuerda :

Y'' + lambda^2 Y = 0

Y en los extremos y = 0 y = 1 la función ha de ser cero , es imposible que una combinación de exponenciales cumpla estas condiciones , por lo tanto los únicos lambda posibles son lambda^2 > 0 y funciones oscilantes (sinusoidales).

Si , en cambio tubieras u(0,x) = a u(1,x) = 0

Lambda^2 < 0 , ya que sería imposible cumplir las condiciones de contorno con funciones trigonométricas.

Por contraposición , si lambda^2 > 0 entonces :

X'' - lambda^2 X = 0

Es decir funciones trigonometricas en el eje y implica funciones exponenciales en el eje x . Por lo tanto las condiciones de contorno en el eje x x = 0 x = 1 no pueden ser nulas porque la única solución posible seria la trivial u = 0 .

Entiendes ahora el razonamiento ?

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Solo tengo la duda a los extremos te refieres, cuando gráficas la función y, donde al dar el valor y=0 e y=1 obtienes el valor cero en la función.
Y la otra como se interpreta un valor y=1. Si estamos en el sistema sexagesimal debería ser en radianes su valor. Descrito por la función que es trigonométrica.

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Tambien veo que en los ejemplos de ecuaciones que pones defines el signo de lambda y no desde
X''/X = - Y''/Y = lambda ^2. Donde ahi es donde se define en un principio.