2o ciclo Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

[rruisan]

Buenos dias tengo el siguiente ejercicio me piden solucionarlos en forma de producto:

$k\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t},\quad\quad k>0;$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{x=0}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{x=5}$

donde la solucion del libro marca que es :

$u=A_ne^{-k\left(\dfrac{n^2\pi^2}{25}\right)t}\cos\left( \dfrac{n\pi}{5}\right)$

donde desarrollo lo siguiente

haciendo u=xt

$u'=x't,\quad u''=x''t;\quad \quad u'=xt',\quad u''=xt''$


queda al sustituir en la ecuacion diferencial

$\dfrac{x''}{x}=\dfrac{kt'}{t}=\lambda^2$

separando me queda dos ecuaciones

$x''-x\lambda^2=0$

$t'-k\lambda^2t=0$

haciendo el cambio de $x=e^{m_1x}\quad \textrm{y} \quad t=e^{m_2t}$


al resolver la ecuaciones me queda que $m_1=\pm\lambda \,\,\textrm{y}\quad m_2=k\lambda^2$, tenemos que

$x=c_1e^{\lambda x}+c_2e^{-\lambda x}$

$t=c_3e^{k\lambda^2 t}$

despues hago el producto de $x \,\,\textrm{y} \quad t$

$u=Ae^{\lambda x+ k\lambda^2 t}+ Be^{k\lambda^2 t-\lambda x}$

donde después hago las derivadas y evalúo igualando a cero. Pero no llego al resultado que cita el libro. Si me pueden orientar se los agradeceria.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

Buenos dias tengo el siguiente ejercicio me piden solucionarlos en forma de producto:

$k\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t},\quad\quad k>0;$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{x=0}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{x=5}$

donde la solucion del libro marca que es :

$u=A_ne^{-k\left(\dfrac{n^2\pi^2}{25}\right)t}\cos\left( \dfrac{n\pi}{5}\right)$

donde desarrollo lo siguiente

haciendo u=xt

$u'=x't,\quad u''=x''t;\quad \quad u'=xt',\quad u''=xt''$


queda al sustituir en la ecuacion diferencial

$\dfrac{x''}{x}=\dfrac{kt'}{t}=\lambda^2$

separando me queda dos ecuaciones

$x''-x\lambda^2=0$

$t'-k\lambda^2t=0$

haciendo el cambio de $x=e^{m_1x}\quad \textrm{y} \quad t=e^{m_2t}$


al resolver la ecuaciones me queda que $m_1=\pm\lambda \,\,\textrm{y}\quad m_2=k\lambda^2$, tenemos que

$x=c_1e^{\lambda x}+c_2e^{-\lambda x}$

$t=c_3e^{k\lambda^2 t}$

despues hago el producto de $x \,\,\textrm{y} \quad t$

$u=Ae^{\lambda x+ k\lambda^2 t}+ Be^{k\lambda^2 t-\lambda x}$

donde después hago las derivadas y evalúo igualando a cero. Pero no llego al resultado que cita el libro. Si me pueden orientar se los agradeceria.

La respuesta del libro esta equivocada, dería ser: $u=\dst A_n e^{\dst(\frac{-kn^2 \pi^2 t}{25 })}\cos(\frac{n\pi x}{5 })$, es decir le falta la $x$. También, $\dst \frac{\partial u}{\partial x} \Big |_{x=0}=0$ y$\dst \frac{\partial u}{\partial x} \Big |_{x=5}=0$. Como recomendación en vez de usar $\lambda^2$ puedes usar $-\lambda$ con $\lambda>0$ como constante. Bueno finalmente la solución para esta ecuación diferencial parcial es una combinación de funciones exponenciales de crecimiento o decaimiento con respecto a $t$ multiplicadas por funciones trigonométricas de senos o cosenos con respecto a $x$. La elección depende de las condiciones de contorno.

Saludos
Jose

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

y ¿como se que debe ser lambda cuadrada negativo? para esto ¿necesito las condiciones de contorno? o puedo tener dos resultados tomando a lambda positivo y negativo. Gracias de antemano.

[alespa07]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

Hola.

Se plantea $\lambda^2$ en vez de $\lambda$ en física porque las condiciones de contorno te obligan a que esta constante sea positiva para que la solución de la ecuación diferencial no sea trivial.

Para darte cuenta de ello basta con que consideres tu ecuación diferencial de segundo orden (la de la variable en $x$) y llames a tu constante $\alpha$ por ejemplo.

Tendrás pues que distinguir tres casos donde dicha constante es positiva, negativa o nula con lo que las soluciones de la ecuación característica serán reales o imnaginarias (se trata basicamente de un problema de valores y vectore propios). Plantea las soluciones en cada caso por separado (obtendrás una combinación ineal de exponenciales para $\alpha<0$, la ecuación de una recta para $\alpha=0$ y una combinación lineal de senos y cosenos para $\alpha>0$).

Aplica las condiciones de contorno en cada caso y verás que el único caso en que la solución no es trivial es para $\alpha>0$. Además, como te saldrás todo el rato $\sqrt[]{\alpha}$ en la solución por ello se plantea con antelación que $\alpha=\lambda^2$ que te fija, desde un principio, que sea una constante positiva y te quitará las raices de en medio a la hora de plantear la solución.

A menos que este tratando de resolver ejercicios de física y que tengas algo de práctica , te recomiendo que plantees una constante cualquiera, que analices los casos y que renombres esta constante según tu conveniencia cuando ya conozcas sus características.

Te podría poner los cálculos pero ando cortito de tiempo.

Un saludo.

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

porque dices que $\alpha$ es $\alpha^2$ como llegas a eso. Gracias de antemano.

[alespa07]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

porque dices que $\alpha$ es $\alpha^2$ como llegas a eso. Gracias de antemano.

Ante todo es $\alpha=\lambda^2$

Todo mi post anterior trata precisamente de explicarte el por qué...

¿Lo has leido y no lo entiendes o no lo has leido del todo?

Un saludo.

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

disculpa alespa07 lo escribí mal, me refería a como llegas a $\sqrt{\alpha}$, Si lo he leido y comprendí la mayor parte solo me surgió esa duda, supongo que sale de la igualdad $\alpha=\lambda^2$.

[alespa07]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

Hola.

No había mirado tus cálculos porque tu duda era sobre la constante de separación. Les echaré un vistazo pero diría que resuelves mal la ecuación de segundo grado.

En todo caso, en tu lugar volvería a plantear el ejercicio escogiendo a $\lambda$ como constante (no cojas el cuadrado hasta saber que dicha constante ha de ser positiva) y analiza los tres casos $\lambda<0$, $\lambda=0$, $\lambda>0$ aplicando las condiciones de contorno.

No lo he combrobado pero a primera vista la solución de tu ecuación de segundo grado sería combinación lineal de senos y cosenos.

Cuando pueda le echo un ratito.

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola. Tengo tiempo de ponerte los cálculos pero no quisiera perder media hora con LaTeX si ya lo tienes solucionado.

¿Sigues necesitando que te exponga los cálculos?

Un saludo.

[rruisan]

Re: Ecuaciones Diferenciales Parciales 2

Ya lo he resuelto muchas gracias alespa07.