1r ciclo Problema con cosh

[Physicist]

Muy buenas:

Practicando para un examen de EDOs me he encontrado con una ecuación que no tengo muy claro que hacer en un paso. La ecuación en cuestión es:

$\dst \ddot{r} = rw^2$

Me piden que la integre y como condiciones iniciales me dicen: $\dst t = 0 \to r = a$. Y me queda

$\dst rLn(r) - r = \frac{w^2t^2}{2} + C$

Y aplicando las condiciones de contorno tengo: $\dst C = aLn(a) - a$

Con todo esto, al final quieren que demuestre que obedece la ecuación: $\dst r(t) = acosh(wt)$

Por más que lo intento no logro encontrar una relación entre mi resultado y esa ecuación, a parte de que cumple las condiciones iniciales.
¿Alguna idea?

Gracias!!

[arivasm]

Re: Problema con cosh

La ecuación diferencial es lineal homogénea, con ecuación característica $m^2-\omega^2=0$ y entonces raíces $m=\pm\omega$, de manera que la solución general será de la forma $r=A\ee^{\omega t}+B\ee^{-\omega t}$, y no la que has escrito. Sólo pones una condición inicial, cuando deberían ser dos, aunque por la solución final imagino que además de ser $r(0)=a$ será $\dot r(0)=0$, con lo que tienes que $A+B=a$ y $A\omega-B\omega=0$, luego $A=B=a/2$ y entonces $\dst r=a\frac{1}{2}\left(\ee^{\omega t}+\ee^{-\omega t}\right)=a\cosh(\omega t)$

[Physicist]

Re: Problema con cosh

Muchas gracias Arivasm!!
No he puesto otra condición porque no me la dan xD

En la ecuación auxiliar, la m^2 de donde la has sacado? Porque a mi se me habían simplificado las m en los dos lados

[arivasm]

Re: Problema con cosh

Puedes leer sobre este tipo de ecuaciones diferenciales (lineales homogéneas y con coeficientes constantes), por ejemplo en la sección 4.1 de este pdf: http://dmi.uib.es/~chusa/datos/Edos/...constantes.pdf

La ecuación característica se obtiene reemplazando las derivadas n-esimas por $m^n$. En nuestro caso tenemos $1r''+0r'-\omega^2r=0$ y por eso la ecuación característica es $1m^2+0m^1-\omega^2m^0=0$ (escribo todo esto así para mostrarlo más claramente). La solución general de estas ecuaciones, si la ecuación característica tiene dos raíces diferentes (reales o complejas) es de la forma $r(t)=A\ee^{m_1 t}+B\ee^{m_2 t}$, y por eso en nuestro caso es $r(t)=A\ee^{\omega t}+B\ee^{-\omega t}$. Si la ecuación característica tiene una raíz doble $m$ entonces la solución sería $r(t)=\ee^{m t}(A+B t)$.

Con respecto a que sólo te den una condición $r(0)=a$ entonces sólo tendremos que $A+B=a$ de manera que como mucho podremos escribir, por ejemplo, que $B=a-A$ y la solución será $r(t)=A\left(\ee^{\omega t}-\ee^{-\omega t}\right)+a\ee^{-\omega t}=2A\sinh(\omega t)+a\ee^{-\omega t}$.

Esto no significa que lo que nos han puesto acerca del coseno hiperbólico sea incorrecto. Para verlo hay que hacer una pequeña manipulación. Si jugamos con las definiciones del seno y coseno hiperbólicos tenemos que $\ee^x=\cosh x+\sinh x$ y $\ee^{-x}=\cosh x-\sinh x$, por lo que la solución general de tu ecuación diferencial también admite ser escrita (haciendo las substituciones y agrupando adecuadamente) como $r(t)=C\cosh(\omega t)+D\sinh(\omega t)$. Por tanto la condición inicial que te dan equivale a que $C=a$ y entonces $r(t)=a\cosh(\omega t)+D\sinh(\omega t)$