2o ciclo Dadas dos soluciones, hallar la EDO lineal completa de menor orden posible

[Gontxo]

LE doy vueltas, y seguro que es una tonteria, pero no caigo: En un examen de ingeniería preguntaron:


Halle la EDO $y^{n)}+a_1 y^{n-1)}+ \cdots +a_{n-1}y' +a_n y=1$ del menor orden posible, con $a_1,\cdots, a_n \in \mathbb{R}$, que admita, como soluciones particulares, las funciones $y_1=x + \textrm{sen }x, \qquad y_2=x.$(Razone la respuesta)

¿alguna sugerencia de solución?

[Umbopa]

Re: Dadas dos soluciones, hallar la EDO lineal completa de menor orden posible

La respuesta es de tercer orden como mínimo. No hace falta saber nada de ecuaciones diferenciales .

Empiezas por una ecuación de primer orden del tipo a·y' + b·y = 1 metes las dos solucines y1 y y2 y ves si es posible escoger a,b de tal forma que se cumplan las dos ecuaciones resultantes que te salen para todo x . La respuesta es no . pruebas con una de segundo orden del tipo ay''+by'+cy = 1 tampoco , pruebas tercer orden y si : y''' + y' = 1 esta lo cumple.

Por si no lo has entendido , por ejemplo la de primer orden sería :

a y1 ' + b y1 = 1 --> a + b x = 1 --> b = 0 ; a = 1

a y2 ' + b y2 = 1 --> a ( 1 + cos x ) + b ( x + sen x ) = 1 pero b = 0 y a = 1 --> 1 + cos x = 1 no es posibles

Y así vas haciendo.

[Gontxo]

Re: Dadas dos soluciones, hallar la EDO lineal completa de menor orden posible

Efectivamente! Gracias, necesitaba la certeza de tener la solución! Me bloqueaba buscando respuestas en la reconstrucción del polinomio característico a partir del wronskiano, y en realidad mis primeros intentos fueron en esa línea. Sospechaba que era así de fácil. Un saludo!

La respuesta es de tercer orden como mínimo. No hace falta saber nada de ecuaciones diferenciales .

Empiezas por una ecuación de primer orden del tipo a·y' + b·y = 1 metes las dos solucines y1 y y2 y ves si es posible escoger a,b de tal forma que se cumplan las dos ecuaciones resultantes que te salen para todo x . La respuesta es no . pruebas con una de segundo orden del tipo ay''+by'+cy = 1 tampoco , pruebas tercer orden y si : y''' + y' = 1 esta lo cumple.

Por si no lo has entendido , por ejemplo la de primer orden sería :

a y1 ' + b y1 = 1 --> a + b x = 1 --> b = 0 ; a = 1

a y2 ' + b y2 = 1 --> a ( 1 + cos x ) + b ( x + sen x ) = 1 pero b = 0 y a = 1 --> 1 + cos x = 1 no es posibles

Y así vas haciendo.