2o ciclo me lo corrigen por favor? es con autovalores repetidos es unEDOs

[xxx_jack_xxx]

bueno el sistema de ecuaciones diferenciales es el siguiente

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Bueno planteo el sistema y me da un unica autovalor cuyo valor es 1 y tiene asociado un unico autovector que es (0,y,0) entonces la primera solucion es

$\vec{y_{1}}=e^{t} \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end {bmatrix}$

ahora tengo que buscar dos soluciones linealmente independientes, para eso, las soluciones seran de la forma
$\vec{y_{2}}=e^{t} (\vec{v_{2}} + t(A- \lambda I)\vec{v_{2}})$
$\vec{y_{3}}=e^{t} (\vec{v_{3}} + t(A- \lambda I)\vec{v_{3}}+\frac{t^{2}}{2}(A- \lambda I)^{2} \vec{v_{3}} )$


con landa el autovalor 1, lo que hago es plantear lo siguiente

$(A- \lambda I)^{2} \vec{v_{2}}=\vec{0}$


resuelvo y hallo que v tiene que ser de la forma

$\vec{v_{2}}=(2z,y,z)^{t}$ por lo tanto hacemos y=0, y z=1 y nos queda que


$\vec{v_{2}}=(2,0,1)^{t}$

entonces lo que debemos hacer es el producto siguiente y multiplicarlo por t para tener una segunda solucion, es decir hacemos

$(A- \lambda I)\vec{v_{2}}=\begin{bmatrix}0\\2\\0 \end{bmatrix}$

luego la segunda solucion linealmente independiente es


$\vec{y_{2}}=e^{t} ( \begin{bmatrix}2\\0\\1 \end{bmatrix}+ t\begin{bmatrix}0\\2\\0 \end{bmatrix})$


para hallar la tercera solución linealmente independiente, es necesario hallar otra v que sea linealmente independiente de las otras dos, para esto, planteamos lo siguiente


[tex](A- \lambda I)^3\vec{v_{3}}=\vec{0}[tex] ahora


$(A- \lambda I)^3=0_{3x3}$ por lo tanto una solucion sera

$\vec{v_{3}}=(x,y,z)^{t}$ hacemos x=y=z=1 y el vector es

$\vec{v_{3}}=(1,1,1)^{t}$

y luego hay que hacer estos productos

$(A- \lambda I)\vec{v_{3}}=\begin{bmatrix}-2\\1\\-1 \end{bmatrix}$ y este producto

$(A- \lambda I)^{2}\vec{v_{3}}=\begin{bmatrix}0\\-6\\0 \end{bmatrix}$

luego la 3º solucion linealmente independiente es

[tex]$\vec{y_{3}}=e^{t} ( \begin{bmatrix}1\\1\\1 \end{bmatrix}+ t\begin{bmatrix}-2\\1\\-1 \end{bmatrix}+\frac{t^{2}}{2}\begin{bmatrix}0\\-6\\0 \end{bmatrix} )$


luego la solucion general sera

$\vec{y}=c_{1}\vec{y_{1}}+c_{2}\vec{y_{2}}+c_{3}\vec{y_{3}}$

la pregunta es si esta bien hecho para los vectores y1, y2,y3