2o ciclo Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

[rruisan]

Tengo el siguiente ejercicio que donde me piden resolverlo con las ecuaciones de Hamilton en la primera parte y después resolver la ecuación diferencial para encontrar un máximo. Pondré mi resultados, de lo que me dio, les pido de favor si me orientan como resolver la última parte. Gracias de antemano.


Una partícula de masa $m$ puede deslizarse sin fricción en el interior de un pequeño tubo doblado en forma de un circulo de radio $r$. El tubo puede girar libremente alrededor de un eje vertical y tiene un momento inercial $I$ alrededor de este eje. Obtener las ecuaciones de Hamilton de movimiento para este sistema . Ahora asuma las condiciones iniciales $\theta(0)=\frac{\pi}{2}$ , $\dot{\theta}(0)=0$, $\dot{\phi}(0)=2\sqrt{\frac{g}{r}}$ donde $I=mr^2$. Resuelva el valor máximo de $\phi$.





Obtengo los siguientes resultados:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dot{P}_\theta=\dfrac{P_\phi^2\sin\theta\cos\theta}{mr^2(1+\sin2\theta)^2}+mgr\sin\theta$

$\dot{\phi}=\dfrac{P_\phi}{mr^2(1+\sin^2\theta)}$

$\dot{\theta}=\dfrac{P_\theta}{mr^2}$

La ecuación diferencial que obtengo es


$\ddot{\theta}-\dfrac{\dot{\phi^2}}{2}\sin 2\theta-\dfrac{g}{r}\sin\theta=0$

Al resolver la ecuación diferencial tenemos que

$\theta(t)=\dfrac{\dot{\phi}}{2}t-\frac{1}{8}\sin2t+\dfrac{gt}{r}-\dfrac{g}{r}\sin t+\dfrac{\pi}{2}$




Mi duda esta en que no se como encontrar el valor maximo de $\dot{\phi}$ ya que como lo expresa el problema este debería ser constante en el movimiento. Cualquier ayudar o sugerencia se los agradecería, no me queda claro como resolver la última parte.

[Elkin]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

Hola

Llego resultados parecidos:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dot{P}_\theta=\dfrac{P_\phi^2\sin\theta\cos\theta}{mr^2(1+\sin^2\theta)^2}+mgr\sin\theta$

$\dot{\phi}=\dfrac{P_\phi}{mr^2(1+\sin^2\theta)}$

$\dot{\theta}=\dfrac{P_\theta}{mr^2}$

La ecuación diferencial que obtengo es


$\ddot{\theta}+\sin\theta\left(\dfrac{g}{r}-\dot{\phi}^2\cos\theta\right)=0$

Mi duda esta en que no se como encontrar el valor maximo de $\dot{\phi}$ ya que como lo expresa el problema este debería ser constante en el movimiento. Cualquier ayudar o sugerencia se los agradecería, no me queda claro como resolver la última parte.

Según lo que escribiste hay que hallar el máximo valor de $\phi$ no de $\dot{\phi}$. En todo caso no sé por qué dices que $\dot{\phi}$ es constante. Pues uno podría resolver para $\theta (t)$ en la ecuación diferencial y reemplazar en $\dot{\phi}$ que está en función de $\theta$.

saludos

[rruisan]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

Gracias Elkin, al parecer en el libro dice que es para $\dot{phi}$ encontrar el maximo pero debe ser solo para $\dot{phi}$ como dices. Pensaba que era constante phi porque no hay variación en la velocidad angular, no entiendo como hacer lo ultimo que comentas de cuando resuelvo para $\theta(t)$ para reemplazar esto por [TEX]\phi[TEX], te agradeceria si me lo explicas un poco mas de lo que me comentas. Gracias de antemano.

[Elkin]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

Gracias Elkin, al parecer en el libro dice que es para $\dot{phi}$ encontrar el maximo pero debe ser solo para $\dot{phi}$ como dices. Pensaba que era constante phi porque no hay variación en la velocidad angular, no entiendo como hacer lo ultimo que comentas de cuando resuelvo para $\theta(t)$ para reemplazar esto por [TEX]\phi[TEX], te agradeceria si me lo explicas un poco mas de lo que me comentas. Gracias de antemano.

Hola,

La idea es que utilices las aproximaciones para $\theta\ll$, es decir ángulos pequeños, con lo cual $\sin\theta\approx\theta$ y $\cos\theta\approx1$, así puedes resolver para $\theta(t)$ en la ecuación diferencial y luego lo reemplazas donde esté $\phi$, según veo debería funcionar.

saludos

[rruisan]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

Entonces lo que me indicas Elkin es que primero debo resolver esto utilizando las aproximaciones que me indicas , utilizando $\ddot{\theta}-\dfrac{\dot{\phi^2}}{2} 2\theta-\dfrac{g}{r}\theta=0$ al resolver esta ecuación diferencial me queda en función de $\theta(t)$ lo que no me queda claro donde debo remplazar esto para obtener $\phi$

[Elkin]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

Entonces lo que me indicas Elkin es que primero debo resolver esto utilizando las aproximaciones que me indicas , utilizando $\ddot{\theta}-\dfrac{\dot{\phi^2}}{2} 2\theta-\dfrac{g}{r}\theta=0$ al resolver esta ecuación diferencial me queda en función de $\theta(t)$ lo que no me queda claro donde debo remplazar esto para obtener $\phi$

Hola,

Revisa la ecuación diferencial, creo que la mía está bien.

Ah quería decir $\dot{\phi}$ no $\phi$.

Ahora que ví las condiciones iniciales de tu problema no sé si se pueda aplicar la aproximación pues el ángulo es de $\frac{\pi}{2}$.

Ahora donde estoy es medio día, y no tengo mucho tiempo. Lo reviso con cuidado en la noche, si es que para entonces ya no lo tienes.

saludos

[rruisan]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

son la misma la ecuación diferencial que presentas con la mía solo utilizo por ahí una identidad. Si de casualidad tuvieras tiempo de indicarme el desarrollo te lo agradecería. Gracias de antemano.

[Elkin]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

son la misma la ecuación diferencial que presentas con la mía solo utilizo por ahí una identidad. Si de casualidad tuvieras tiempo de indicarme el desarrollo te lo agradecería. Gracias de antemano.

Hola,

Al menos en un signo no coinciden las ecuaciones.

Y creo que estoy igual que tú en cuanto al desarrollo del ejercicio. La verdad me acabo de confundir. Me puse a pensar que ya sea que $\dot{\phi}$ sea o no constante, $\phi$ sería igualmente una coordenada cíclica y por tanto el momento conjugado debería ser constante.

Así, si se tiene $\dot{\phi}$ constante, para que el momento mencionado sea constante, la única es que la masa se quedara en un solo punto sobre la varilla, pero de otra parte uno puede obtener la solución a la ecuación diferencial, y encuentra que su solución para ángulos pequeños no produce $\theta=cte$.

De otra parte no sé cómo le hiciste para encontrar la solución a la ecuación diferencial.

saludos

[rruisan]

Re: Valor máximo de la velocidad angular (ecuaciones de Hamilton)

La solución de la ecuación diferencial lo hice utilizando transformada e inversa de Laplace, gracias de todos modos Elkin. Saludos.