Otras carreras Pista ecuación diferencial

[jggri]

Hola a todos. Me he topado con un ejercicio que me pide resolver la siguiente ecución diferencial:

$y^{'''}+2yy^{''}=\sin(\pi x)$

Mirando por el foro y consultando otras fuentes he visto que de esa ecuación diferencial de orden tres se puede llegar a un sistema de 3 ecuaciones diferenciales de primer orden, si se realizan los siguientes cambios de viariable:

$y^{'} = v$
$y^{''} = v^{'} = u$
$y^{'''} = v^{''} = u^{'}$

Con lo cual se llega al sistema de ecuaciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Una vez llegado hasta aqúi, al ser el sistema no lineal ya no sé seguir. Haber si alguien me puede hechar una mano y darme alguna pista.

[jfnp]

Re: Pista ecuación diferencial

Hola,

No lo he mirado detenidamente, pero la solución será la de la ecuación homogénea, más una solución particular. Para la solución homogénea, puedes hacer lo que dices, ya sin el molesto $sin(\pi x )$. Y para la particular, ensaya $y = Asin(\pi x)+Bcos(\pi x)$

Saludos,

[hennin]

Re: Pista ecuación diferencial

No lo he mirado detenidamente, pero la solución será la de la ecuación homogénea, más una solución particular. Para la solución homogénea, puedes hacer lo que dices, ya sin el molesto . Y para la particular, ensaya

Eso es totalmente incorrecto. El espacio de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria de orden n no lineal no tiene estructura de espacio afín. De hecho tiene una estructura tan compleja que se estudia mediante técnicas de la topología simpléctica. Un caso muy estudiado por los físicos es el espacio de las fases que tiene estructura de espacio topológico el cual suele ser metrizable.

Lo único que se me ocurriría para resolverla explícitamente sería si consiguieras hallar una solución particular $y_0$. En tal caso haces el cambio de variable $z=wy_0$ y entonces la nueva variable te dará una ec. diferencial ordinaria lineal la cual es más fácil de resolver.

Si no tiene solución particular fácil probaría haciendo algún cambio de variable ingenioso o mediante el método de series (que también es aplicable para edo no lineales pero hay que tener buen ojo para resolver la relación de recurrencia).

Saludos.

[jfnp]

Re: Pista ecuación diferencial

Ooops! Mil perdones, nada más lejos de mi intención que confundir. Sólo una cosa más: La solución particular que propongo, sí es correcta, creo. ¿Se podría, pues, usar para seguir el procedimiento que describe hennin, no?

Saludos,