1r ciclo EDO de orden 3 con coeficientes variables

[ender550]

[FONT=verdana]Hola a todos, [/FONT]

[FONT=verdana]tengo la siguiente EDO [/FONT]$(x+1)u''' +xu''-(x-3)u'-(x+2)u=0$[FONT=verdana]. Es de orden 3, pero tiene coeficientes dependientes de x. Lo que yo he conseguido ha sido obtener la ecuación [/FONT]$u''' +\displaystyle\frac{x}{x+1}u''-\displaystyle\frac{(x-3)}{x+1}u'-\displaystyle\frac{(x+2)}{x+1}u=0$[FONT=verdana] dividiendola todo por x+1. [/FONT]

[FONT=verdana]A partir de aquí lo que he hecho ha sido tomar como solución particular x+1 y hacer el cambio de variable [/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=verdana] para reducirla a una EDO de orden dos, pero creo que esa solucion particular no es la correcta y a partir de aquí no sé como terminarla. [/FONT]

[FONT=verdana]Alguien me podría dar una pista? Todo lo que he encontrado sobre EDOs de orden superior era para coeficientes constantes, pero no variables.[/FONT]

[FONT=verdana]Gracias por la ayuda ![/FONT]

[[Beto]]

Re: EDO de orden 3 con coeficientes variables

Hola, yo lo que haría sería expresar a $u$ como una serie, es decir $\dst u=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, entonces:

$\dst u'=\sum_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}$

$\dst u''=\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}$

$\dst u'''=\sum_{n=3}^\infty a_nn(n-1)(n-2)x^{n-3}$

luego reemplazas todo en tu expresión inicial:

$$\begin{aligned}<br /> (x+1)\sum_{n=3}^\infty a_nn(n-1)(n-2)x^{n-3}+x\sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}&\\-(x-3)\sum_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}-(x+2)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n&=0<br /> \end{aligned}<br />$$

finalmente todo es cosa de que encuentres alguna ley de recurrencia entre los coeficientes ...