1r ciclo Demostrar que la solución es única

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no sé como agarrar:

Demostrar que la solución de un problema de valores iniciales para una EDO lineal homogénea

$\dst \begin{cases}u^{(n)}+a_{n-1}(x)u^{n-1}+...+a_0(x)u=0,\quad x\in\, I\\ u(x_0)=0,\\ u'(x_0)=0, \\ ... \\ u^{n-1}(x_0)=0\end{cases}$

es la trivial $u(x)\equiv 0$.

¿Alguien puede echarme una mano?

Gracias

[javier m]

Re: Demostrar que la solución es única

Pues, supongo que solo tienes que reemplazar la función $u(x)\equiv 0$, y ver que es solución de la EDO.

La unicidad te la garantiza el teorema de existencia y unicidad, o eso creo, no estoy seguro (porque no dice que las funciones $a_1(x), a_2(x)...$ sean continuas, lo que es necesario para el teorema).

[gdonoso94]

Re: Demostrar que la solución es única

¿Pero cómo demuestras que es única? Estoy un poco colapsado con las EDO y creo que me cuesta pensar ya...

Gracias.

[javier m]

Re: Demostrar que la solución es única

Es que el teorema de existencia y unicidad dice que si uno tiene una EDO de la forma:

$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y^{(1)}+a_0(x)y=g(x)$

sujeta a:

$y(x_0)=y_0$
$y^{(1)}(x_0)=y_1$
.
.
.
$y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$

entonces:

Sean $a_n(x),a_{n-1}(x),...,a_1(x),a_0(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo $I$ y sea $a_n(x)\neq 0$ para toda x en este intervalo. Si $x=x_0$ es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución $y(x)$ del problema con valores iniciales existe en el intervalo y es única.



Es claro que en tu problema $a_n(x)\equiv 1 \neq 0$ para toda $x \in I$, y $g(x)\equiv 0$ es continua.

Por tanto existe una solución y es única.

El teorema no lo demuestran los libros basicos de EDOs, y nunca he visto tal demostración.

Creo que es así.

[Jose D. Escobedo]

Re: Demostrar que la solución es única

Una manera sencilla de hacerlo, pero no estoy muy seguro de ello (bueno al menos eso creo). Es usar el modus tollendo tollens, es decir en vez de $p\Rightarrow q$, se usa [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Como lo que se quiere demostrar es la unicidad, entonces se puede empezar por dos funciones, tales que $h(x)\neq g(x)$ cumpliendo esas condiciones únicamente cuando cuando $h(x)=g(x)$ terminando por contradecir el "statement" $h(x)\neq g(x)$. Consecuentemente la funcion que cumple esas condiciones es única.


Saludos

[javier m]

Re: Demostrar que la solución es única

Pues, lo común a la hora de demostrar unicidad es hacer lo que tu dices: suponer que hay dos, y ver que en realidad son la misma.

Yo intenté hacerlo así, pero no se me ocurrió como llegar a la conclusión de que $h(x)=g(x)$. ¿Se te ha ocurrido qué pasos se han de seguir para hacerlo de esta forma, Jose ?

[Jose D. Escobedo]

Re: Demostrar que la solución es única

Hola, Javier si te fijas bajo esas condiciones $h(x_o)=g(x_o)=0$, $h'(x_o)=g'(x_o)=0$, asi hasta que:$h^{n-1}(x_o)=g^{n-1}(x_o)=0$ (suponiendo $h(x) \neq g(x)$) que es informacion dada (por hipotesis), luego sustituyendo en la ecuacion diferencial para ese punto en particular $x_o$, resulta que: $h^n(x_o)=0$y $g^n(x_o)=0$, en un entorno muy pequeñito a $x_o$ se cumple $h^n(x)\approx 0$...(1) y $g^n(x)\approx 0$...(2).
Sumando (1) y (2)
$h^n(x)+g^n(x)\approx 0\Rightarrow$
$\Rightarrow h^{n-1}(x) + g^{n-1}(x) \approx C$ pero haciendo $x\to x_o$ resultaría $C\approx 0$, el problema radica en usar sigmas y deltas para un entorno de $x_o$ para demostrarlo con "rigurosidad." Ademas es mejor decir que $h(x)$ y $g(x)$ son n-differenciables a la condición continuidad, condiciones que no son establesidas por el problema en un intervalo.

Nota: esto es un esbozo de prueba y no una prueba.

Saludos