1r ciclo Desintegración

[Turing]

Hola,

me dan un enunciado que dice así: "Sea A un compuesto que se desintegra con una constante de desintegración $\dst \alpha = 1/\tau$ y sea B el producto resultante que a la vez se desintegra con una constante $\dst \beta$. Encuentra la cantidad de A y B en función del tiempo, sabiendo que para $t=0, B=0, A=A_o$.

La verdad es que no sé como plantear las ecuaciones diferenciales. Además, noto como si me faltase algo para entender que pasa aquí, ¿como es la velocidad de desintegración o como cambia respecto al tiempo y al material?

Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Desintegración

Te doy una pista, la ecuación diferencial de una desintegración radiactiva es:

$$\dst \frac{dA}{dt}=-kA$$

A ver si así consigues sacar algo, la verdad es que no me he planteado cómo resolverlo, pero no hace falta la velocidad de desintegración...

Saludos!

P.D: Las funciones A son funciones del tiempo: A=A(t).

[Turing]

Re: Desintegración

Es negativo porque cada vez hay menos cantidad de materia, ¿no?

Para la A he hecho: $\dst \int^{t}_{t_o}\frac{dA}{A}=-k\int^{t}_{t_o}dt$ $\to$ $\dst A=A_oe^{-kt}$. Pero la B no la veo tan fácil y estoy llegando a expresiones algo más elaboradas, ¿puede ser?

[gdonoso94]

Re: Desintegración

Efectivamente. Es un decrecimiento.

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Desintegración

Pero la B no la veo tan fácil y estoy llegando a expresiones algo más elaboradas, ¿puede ser?

Para la B tienes lo que entra (positivo) de compuesto A y lo que sale para convertirse en C. Por tanto la ecuación será de la forma $\dfrac{\dd B}{\dd t} = - \beta B + \alpha A_0 \eee{-\alpha t }$, que es una ecuación lineal completa.

Saludos,

[abuelillo]

Re: Desintegración

La verdad es que no sé como plantear las ecuaciones diferenciales. Además, noto como si me faltase algo para entender que pasa aquí, ¿como es la velocidad de desintegración o como cambia respecto al tiempo y al material?

Para entender un poco mejor esta cuestion planteatelo inicialmente de una forma numerica y aproximada. Pongo un ejemplo muy sencillo:

Digamos que tenemos 100 litros de agua en un bidon, este tiene un agujero y nos dicen que el agua que se pierde es proporcional a los litros de agua que quedan en el bidon, en concreto el agua se pierde a un ritmo de un 10% del agua que haya en el bidon. Aqui la constante de "desintegracion" seria luego 0.1.
Y la formula aproximada para calcula cuanta agua se pierde o gana seria algo como:

$\Delta A = -0.1 A \Delta t$

Donde $\Delta A$ seria la cantidad de agua perdida o ganada, $A$ la cantidad de agua que hay en el bidon, y $\Delta t$ la cantidad de tiempo que ha pasado.

Ahora usando esta formula podemos calcular de forma aproximada como se va perdiendo el agua, vamos a coger ticks de tiempo de 10 segundos.
Cuanta agua se perderia al cabo de 10 segundos ?

$\Delta A = - 0.1 \times 100 \times 10 = -100 \quad litros$

Es decir en 10 segundos se ha perdido los 100 litros de agua.
Pero esta solucion es muy burda, ya que sabemos que a medida que el agua baja, la cantidad que se pierde tambien baja, porque la perdida es proporcional a la cantidad de agua que va quedando, asi que en lugar de usar ticks de 10 segundos usemos ticks de 1 segundo, en el primer segundo:

$\Delta A = - 0.1 \times 100 \times 1 = -10 \quad litros$

Se pierden 10 litros, con lo que quedan 90 litros en el bidon, ahora veamos cuanta agua se pierde en el siguiente segundo:

$\Delta A = - 0.1 \times 90 \times 1 = -9 \quad litros$

Vemos que en el siguiente segundo se pierden solo 9 litros porque tambien quedaba menos agua, ahora tenemos 81 litros en el bidon.

$\Delta A = - 0.1 \times 81 \times 1 = -8.1 \quad litros$

Etc, etc, etc.

El problema es que aunque es mejor usar incrementos de 1 segundo que de 10 segundos, sigue siendo solo aproximado, si usasemos incrementos de una milesima de segundo o todavia mas pequeños tendriamos resultados todavia mas exactos.
Lo que hay que hacer es tomar incrementos infinitesimales para tener el resultado exacto de verdad. Es decir en la formula que usamos, que es:

$\Delta A = -0.1 A \Delta t$

Convertimos los incrementos en incrementos infinitesimales:

$dA = -0.1 A dt$

Pasamos dt para el otro lado y queda:

$\dst \frac{dA}{dt} = -0.1 A$