1r ciclo Diferencial total?

[Turing]

Hola,

tengo una ecuación diferencial que dice así $\dst xdx+ydy=\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$. Bueno, he visto que no la puedo abordar por separación de variables, tampoco tiene forma lineal ni del tipo de Bernuilli. Por lo tanto, he intentado comprobar si se trata de un diferencial total haciendo:

$\dst (xdx+ydy)(x^2+y^2)=ydx-xdy$

$\dst (x^3+xy^2-y)dx+(y^3+x^2y-x)dy=0$

y he llamado a $\dst (x^3+xy^2-y)dx = M(x,y)$ y a $\dst (y^3+x^2y-x)dy = N(x,y)$. Ahora he derivado parcialmente y aplicado el teorema de Schwarz, condición necesaria para saber si he de calcular algún factor integrante o no,

$\dst \frac{\partial M}{\partial y} = 2xy-1 = \frac{\partial N}{\partial x}$

por lo que estamos ante una diferencial total.

Ahora he considerado una función cualquiera $\dst U(x,y)= C$ y sé que ha de cumplirse $\dst dU(x,y)= \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy=0$. Por lo que,

$\dst \frac{\partial U}{\partial x}=M(x,y) \to U(x,y)=\int (x^3+xy^2-y)dx=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2y^2}{2} -xy + \varphi (y)$

$\dst \frac{\partial N}{\partial y}=N(x,y) \to y^3+x^2y-x=x^2y-x+ \varphi ' (y) \to \varphi (y)=\int y^3dy =\frac{y^4}{4}$

de donde saco que $\dst U(x,y)=C= \frac{x^4}{4} + \frac{y^4}{4} + \frac{x^2y^2}{2}-xy$. Pero no sé de donde sale la solución que pone en el dosier de $\dst x^2+y^2-2\arctan(\frac{x}{y})=C$.

¿He de hacer algún cambio de variable? ¿He empezado mal desde el inicio?

Un saludo.

[visitante20160513]

Re: Diferencial total?

Creo que tienes un error casi al principio. El paso:

$(xdx+ydy)(x^2+y^2)=ydx-xdy\qquad\longrightarrow\qquad (x^3+xy^2-y)dx+(y^3+x^2y-x)dy=0$

no es correcto.

Lo correcto es:

$(xdx+ydy)(x^2+y^2)=ydx-xdy\qquad\longrightarrow\qquad (x^3+xy^2-y)dx+(y^3+x^2y+x)dy=0$


*** Observa el signo del último sumando del primer miembro. Este error provoca que lo que tú creías que era una diferencial exacta pues ... resulta que no lo es.

Salu2

[Turing]

Re: Diferencial total?

Creo que tienes un error casi al principio:

$(xdx+ydy)(x^2+y^2)=ydx-xdy\qquad\longrightarrow\qquad (x^3+xy^2-y)dx+(y^3+x^2y-x)dy=0$

no es correcto.

Lo correcto es:

$(xdx+ydy)(x^2+y^2)=ydx-xdy\qquad\longrightarrow\qquad (x^3+xy^2-y)dx+(y^3+x^2y+x)dy=0$

Cierto, que rabia me dan estos errores... Pero entonces las derivadas no coinciden y ya no tengo una de diferencial total y he de encontrar el factor integrante, ¿no?

PD: He leído tu editado, voy a intentarlo.

- - - Actualizado - - -

Tengo que para el caso de elegir $\dst \mu (x)$ me acaba quedando $\dst \frac{d \mu}{\mu }=F(x)=\frac{1}{N} [ \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}]$. Pero si substituyo me queda que $\dst F(x)= \frac{-2}{y^3+x^2y+x}$ y esto lo he de integrar sobre x?

Me parece muy raro, ¿es así?

[visitante20160513]

Re: Diferencial total?

Si existe un factor integrante que solo dependa de la variable x. En este caso parece que no lo hay.

Chico aplica el método general, no es difícil y está en los libros, pero claro, hay que conocerlo.

Salu2

[Turing]

Re: Diferencial total?

Chico aplica el método general, no es difícil y está en los libros, pero claro, hay que conocerlo.

Bueno intento aprender, así que tranquilidad, no sé de que método general me hablas. A mí solo me han explicado dos casos: $\dst \mu (x)$ y $\dst \mu (y)$