Variable de integración

[Marcos Castillo]

Re: Variable de integración

Me da la impresion de que te estas complicando o "sobrepensando" de más

Tienes razón, y además todo el mundo me lo ha sugerido; no solo tú, sino también la profa particular, y también en otros foros. Además, mis razonamientos para encontrar acomodo a la doble implicación que escribía mi tutor, $y=y(t)\Longleftrightarrow{\dst \int_0^y\dd y=\int_0^t\dd y}$, eran incorrectos, como tú decías.

El caso es que esta doble implicación es cierta, en particular en relación al ejercicio de la que surgió.

Rebobino. El ejercicio es el siguiente: se trata de una pelota encima de una pared de altura $y_0$, y a esta pelota se la golpea en sentido horizontal. Sale disparada e inmediatamente se ve sometida a la fuerza de gravedad. Tenemos dos movimientos al analizar la trayectoria de la pelota: un movimiento rectilíneo uniforme en sentido horizontal, y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en sentido vertical. Para saber la altura de la pelota respecto al suelo en cualquier instante, tenemos la expresión $\dst \int_0^y\dd y=\int_0^t -gt\dd t$. Integrando queda $\dst y=y_0-\frac{gt^2}{2}$.

Todo perfecto, excepto que yo tenía dudas respecto a la notación: ¿qué era $\dd y$?; ¿por qué $y=y(t)$?; ¿por qué $\dst \int_0^y \dd y$ y no $\dst \int_0^t \dd y$?.

La respuesta fue la siguiente: "$\dd y$ es la variable a integrar, la notación $y=y(t)\Longleftrightarrow{\dst \int_0^y\dd y=\int_0^t\dd y}$".

La respuesta era un intento de dar sentido a mis dudas, pero tuvieron el efecto contrario: me líe la manta.

Bien, la igualdad $\dst \int_0^y \dd y=\int_0^t \dd y$ puede entenderse válida para cualquier función $y(t)$ que cumpla $y(0)=0$, pues el miembro izquierdo puede entenderse como $\dst \int_0^y \dd y=y\Big|_0^y=y-0=y=y(t)$, mientras que el miembro derecho puede entenderse como $\dst \int_0^t y'(t)\dd t=y(t)\Big|_0^t=y(t)-y(0)=y(t)$. Decir que esto es equivalente a $y=y(t)$ puede entenderse como una forma de decir que esta igualdad entre integrales es válida para toda función $y(t)$ (aunque no es exacto, sino que hay que suponer que $y(0)=0$, y también harían falta algunas hipótesis sobre la inyectividad de $y$ para que en el miembro izquierdo sea válido el cambio de variable $y=y(t)$).

¿Cómo lo veis esta vez?.

¡Un saludo!

[abuelillo]

Re: Variable de integración

Ahí va la que yo creo es la prueba $y=y(t)\Longrightarrow{\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y}$:

Me da la impresion de que te estas complicando o "sobrepensando" de más (o es que no he pillado lo que intentas decir o estamos interpretando las simbolos de forma distinta). Esa afirmacion (por lo menos tal como yo la interpreto) no puede ser cierta, elijamos un caso particular, digamos que:

$y=y(t)=2t \Rightarrow \dst \int_0^t dy = \dst \int_0^y dy$

Entonces, calculando las integrales:

$\dst \int_0^t dy = y\Big |_{0}^{t} = t = \dst \int_0^y dy = y\Big |_{0}^{y} = y \Longrightarrow y=t$

Pero habiamos partido de:

$y=2t \quad \neq \quad y=t$

Asi que hemos llegado a una contradiccion.

Otro ejemplo, digamos que me dedico a calcular el area de muros, podria usar base por altura y ya esta pero prefiero hacerlo con integrales asi que uso:

$\displaystyle dA = Hdx \Rightarrow A = \int_0^x Hdx \Rightarrow Hx\Big |_{0}^{x} = Hx$

Donde A es el area, H altura, y x la base. Yo uso kilometros para las medidas pero otro compañero prefiere medir todo en metros, como nuestros calculos de areas tienen que ser comparables decidimos que mis resultados los convertiré a metros cuadrados, es decir acordamos lo siguiente:

$A_m = \displaystyle \int_{0}^{x}1000000 (H_{km})dx = \int_{0}^{y}(H_{m})dy$

$y = y(x) = 1000x$

Es decir "x" está en kilometros e "y" esta en metros. Y como es obvio:

$\displaystyle \int_{0}^{y}(H_{m})dy \neq \int_{0}^{x}(H_{m})dy$

Y ademas no tiene sentido, ya que no puedo meterle un valor x que esta en kilometros a una formula que trabaja en metros. La unica forma de que esa igualdad sea correcta es que se cumpliese que $y=x$, pero no es el caso.

[pod]

Re: Variable de integración

Más allá de todo lo que habéis estádo comentando (que está muy bien), sobre esta ecuación:

Me he encontrado con esto: $\vec v (t)=\dst \frac{\dd \vec r (t)}{\dd t}\longrightarrow{\dst \int_0^t \dd \vec r (t)= \dst \int_0^t \vec v (t)\dd t}$

Yo diría que no es la forma más correcta de escribir la integral. La forma más adecuada, según mi humilde opinión, seria

$$\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)} \dd \vec r = \int_0^t \dd t \ \vec v(t) .$$

Así queda bastante más claro que, al final, lo que obtenemos es una expresión para la posición en función del tiempo. Por otro lado, tened en cuenta que en realidad son tres integrales (una para cada componente).

[Marcos Castillo]

Re: Variable de integración

Hola, abuelillo. Perdona que me ponga pesado, pero es que mi tutor de la UNED no me responde desde hace una semana, cuando me dijo lo siguiente:

$\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y\Longleftrightarrow{y(t)=y}$

sin añadir nada más.

Yo he interpretado que cuando escribe $\Longleftrightarrow$ se trata de lo que en lógica es una doble implicación, y cuando dice $y(t)=y$ lo que quiere decir es que $y$ es una función del tiempo. Y he tratado de justificarlo. La implicación $\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y\Longrightarrow{y=y(t)}$ me parece obvia, así que he intentado justificar $y=y(t)\Longrightarrow{\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y}$.

En esta semana he ido modificando el razonamiento, después de leer tu mensaje. Y además tengo una profesora particular que opina lo mismo que tú, es decir, que solo puedo afirmar la implicación $\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y\Longrightarrow{y=y(t)}$. Ahí va la que yo creo es la prueba $y=y(t)\Longrightarrow{\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y}$:

Sea $y$ una función de $t$, y sea la expresión $\dst \int_0^y \dd y$. Por un lado tengo que $\displaystyle \int_0^y \dd y= y\Big |_{0}^{y}$ por la definición de integral. Por otro lado, si la integral de una función es el área debajo de ella, el área será para cada valor de $t$ igual a 1 por $t$. Y concluyo que $y=t$ , es decir, $\dst \int_0^t \dd y=\dst \int_0^y \dd y$.

¿Cómo lo ves?. ¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Re: Variable de integración

Lo que dices es valido siempre que tenga en cuenta que has impuesto la funcion y=t

La única condición que impongo es que $y=f(t)$. Si $y=1$ y $y=f(t)$, su integral será una diagonal en el primer cuadrante, es decir, $y=t$.

[abuelillo]

Re: Variable de integración

Veamos si lo he pillado. Si tengo $\dst \int_0^y dy$, el integrando es 1, y la variable respecto a la que se integra es $y$. De forma que la integral indefinida es $y$. Al ser $y$ esta integral indefinida, podemos decir que $y=t$, de forma que queda $\dst \int_0^y dy=\dst \int_0^t dy$

Lo que dices es valido siempre que tenga en cuenta que has impuesto la funcion y=t , lo que implica que la ecuacion de movimiento que estas analizando tiene exactamente esa forma, es decir la distancia recorrida se corresponde exactamente con el tiempo. Es decir y=t es asi porque lo has decidido a priori no porque la integral definida sea simplemente "y".
Si "y" depende del tiempo en una forma distinta, lo que afirmas no seria valido, para que fuese valido habria que considerar que "t" es simplemente un simbolo nuevo que hemos decidido usar en lugar de "y", y que ese "t" esta representando una distancia no un tiempo, igual que podriamos haber usado a,b,c o cualquier otro nombre de variable.
Si y=f(t) en realidad la igualdad que se cumpliria seria:

$\dst \int_0^y dy=\dst \int_0^{f(t)} dy$

Por otra parte $y$ es función de $t$, es decir, $y=f(t)$. Si se integra la función entre 0 y $t$, queda $\dst \int_0^t=f(t)-f(0)$. Como $f(0)=0$, puesto que la pelota en reposo se encuentra en la posición 0 respecto a coordenadas cartesianas, queda $\dst \int_0^t=f(t)=y$.

Esto estaria bien.

Por cierto, ¿qué quiere decir el tutor con $y=y(t)$?; ¿quiere decir lo mismo que yo cuando digo $y=f(t)$?

Es mas o menos lo mismo, una forma de indicar un valor particular de la funcion y que se corresponde con un cierto valor de t, muchas veces tienes mas de una funcion y no las puedes llamar a todas f, asi que puedes usar y(t) x(t) p(t) o lo que sea.

[pilimafiqui]

Re: Variable de integración

Para mi tus razonamientos son correctos

[Marcos Castillo]

Re: Variable de integración

Veamos si lo he pillado. Si tengo $\dst \int_0^y dy$, el integrando es 1, y la variable respecto a la que se integra es $y$. De forma que la integral indefinida es $y$. Al ser $y$ esta integral indefinida, podemos decir que $y=t$, de forma que queda $\dst \int_0^y dy=\dst \int_0^t dy$

Por otra parte $y$ es función de $t$, es decir, $y=f(t)$. Si se integra la función entre 0 y $t$, queda $\dst \int_0^t=f(t)-f(0)$. Como $f(0)=0$, puesto que la pelota en reposo se encuentra en la posición 0 respecto a coordenadas cartesianas, queda $\dst \int_0^t=f(t)=y$.

¿Qué tal?.

Por cierto, ¿qué quiere decir el tutor con $y=y(t)$?; ¿quiere decir lo mismo que yo cuando digo $y=f(t)$?

[Turing]

Re: Variable de integración

¿Cuál es la variable de integración en la expresión $\dst \int_0^t\dd\vec r (t)$ , $\vec r(t)$ ó $t$?

¿La posición varía con el tiempo o el tiempo varía con la posición?

- - - Actualizado - - -

El tutor de la UNED lo razona con una doble implicación que no entiendo:

$\dst \int_0^y \dd y=\dst \int_0^t \dd y\Longleftrightarrow y=y(t)$
!

Aquí lo único que te está diciendo es que $\dst y$ es una función que depende del tiempo.

[Marcos Castillo]

Re: Variable de integración

¿Cuál es la variable de integración en la expresión $\dst \int_0^t\dd\vec r (t)$ , $\vec r(t)$ ó $t$?

En la expresión $\dst \int_0^y\dd y=\dst \int_0^t \dd y$, ¿por qué se puede sustituir $y$ por $t$?; o equivalentemente, ¿por qué $y(t)=y$ y esto nos da el argumento para sustituir $y$ por $t$?

[pilimafiqui]

Re: Variable de integración

Para integrar en general se pone 0, que es el momento inicial e y, que es el valor en cualquier momento, para y(t) se pone por el mismo motivo 0 y t.

- - - Actualizado - - -

La doble implicacion indica que se cumple tanto en un sentido como en el atro.

[Turing]

Re: Variable de integración

Hola Marcos,

la variable de integración es conocida como variable muda, esto quiere decir que el resultado no depende de la variable concreta que haces servir. Por ejemplo:

$\dst \int_a^b f(x)dx= \int_a^b f(t)dt$

Un saludo.

[pilimafiqui]

Re: Variable de integración

Para saber con respecto a que variable integras te lo dice el diferencial, es decir si tienes dr, integras con respecto a r ,si te dice dy integras con respecto a y

- - - Actualizado - - -

Los valores que te aparecen en la integral es por lo que tienes que sustituir una vez hallas integrado

[Marcos Castillo]

Hola. La variable de integración proporciona información sobre respecto a qué estamos integrando, al igual que la variable de derivación nos da información sobre respecto a qué estamos derivando...¿voy bien?.

Me he encontrado con esto: $\vec v (t)=\dst \frac{\dd \vec r (t)}{\dd t}\longrightarrow{\dst \int_0^t \dd \vec r (t)= \dst \int_0^t \vec v (t)\dd t}$

La variable de derivación es $t$, al igual que la de integración es $t$. Pero, en el caso de la fórmula $\dst \int_0^t \dd \vec r (t)$, la variable de integración es $\vec r (t)$, ¿no?. Para entenderlo, he escrito esta integral de nuevo: $\dst \int_0^t 1\dd \vec r (t)=\vec r (t)-\vec r (0)$. ¿Es correcto?. Pero, la variable de integración para este caso, ¿no es en realidad $t$ también?. De hecho es $t$ la que aparece en la parte inferior y superior del signo de integración.

Por otra parte me he encontrado con un ejercicio que tiene que ver con esta duda: supongamos que doy una patada a una pelota desde una altura. Cuando la pelota esté en el aire, se verá sometida a la acción de la gravedad. Tenemos por tanto un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo, y un movimiento rectilíneo uniforme en sentido horizontal.

MRU: $x=v_xt$
MRUA: $\vec v_{y}=-gt\hat{\jmath}$

Para conocer en cada momento la altura de la pelota en el aire, el ejercicio plantea las siguientes fórmulas:

$\dst \int_0^y \dd y=\dst \int_0^t \vec v (t)\dd t\longrightarrow y=y_0-\dst \frac{gt^2}{2}$

que son similares a las que he escrito en primer lugar, pero centradas en la componente vertical del movimiento de la pelota. En la fórmula $\dst \int_0^y \dd y$, ¿cuál es la variable de integración $y$ ó $t$?. Porque integra entre 0 e $y$ (que se supone que es el valor de $y(t)$). ¿Y por qué $y(t)=y$?.

El tutor de la UNED lo razona con una doble implicación que no entiendo:

$\dst \int_0^y \dd y=\dst \int_0^t \dd y\Longleftrightarrow y=y(t)$

¡Un saludo!