1r ciclo Factor de integración

[Turing]

Hola,

me dan esta ecuación $\dst xdx + ydy + x(xdy-ydx)=0$ y me piden resolverla mediante un factor integrante $\dst \mu= \mu (x^2+y^2)$. He probado a hacer un cambio de variable $\dst z=x^2+y^2$ y a partir de aquí,

$\dst \mu \frac{\partial P}{\partial y} + P \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z} = \mu \frac{\partial Q}{\partial x} + Q \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z}$

$\dst \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} \mu} = \frac{1}{ Q-P} [\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}]$

Pero no me sirve. De hecho aquí creo que he encontrado la expresión para $\dst \mu (x+y)$.

¿Alguna ayuda? Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Factor de integración

Conviene empezar poniendo la ecuación de la siguiente forma:
$\dst xdx + ydy + x(xdy-ydx)= x.dx +y.dy +x^2.dy -xy.dx = (x-xy).dx + (x^2 +y).dy =0$.

De esta forma se tiene que

$P(x,y) = (x - xy)$ y

$Q(x,y) = (x^2 + y)$

Calculamos las derivadas parciales:

$\dst \frac{\partial P}{\partial y}= -x$

$\dst \frac{\partial Q}{\partial x}= 2x$

Comprobamos que no es una diferencial exacta, pero al mismo tiempo sabemos que $\dst \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = -3x$, que solo depende de $x$ con lo que podemos buscar un factor integrante que solo dependa de $y$.

Búsqueda del factor integrante:

Sea $\mu = \mu (y)$ este factor integrante.

Con este factor, el término $P(x,y)$ de esta nueva ecuación diferencial con el factor integrante pasa a ser:

$\dst P(x,y) = \mu (y).(x-xy)$

Y el término $Q(x,y)$ pasa a ser:

$Q(x,y) = \mu (y).(x^2 + y)$

Repetimos la derivación cruzada anterior e imponemos la condición de que estas derivadas han de ser iguales:

$\dst \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\mathrm{d \mu}}{\mathrm{dy}}.(x - xy) + \mu .(-x)$

$\dst \frac{\partial Q}{\partial x} =\mu . 2x$

$\dst \frac{\mathrm{d \mu}}{\mathrm{dy}}.(x - xy) - \mu .x = 2.\mu . x$, de donde

$\dst \frac{\mathrm{d }\mu }{\mathrm{d} y}.(x-xy) =3.\mu x$

que, después de cancelar $x$ y de separar variables queda:

$\dst \frac{d \mu}{\mu} = 3.\frac{dy}{1-y}$

Integrando esta última ecuación obtienes el factor integrante.

[Turing]

Re: Factor de integración

Hola Oscar,

ya había conseguido hacerlo mediante un factor $\dst \mu(y)$. El problema es que el segundo apartado me pide hacerlo mediante un factor que depende de $\dst x^2+y^2$. Eso es lo que no sé hacer.

Es decir, cambiar $\dst \mu= \mu(y)$ por $\dst \mu(x^2+y^2)$.

[oscarmuinhos]

Re: Factor de integración

Efectivamente. Y con el mismo procedimiento.
y disculpa porque no me había leído bien el enunciado

Pones $\mu (z) = \mu (x^2 + y^2)$ y con el mismo procedimiento, yo llego (salvo error) a:

$\dst \frac{d \mu}{\mu } = -\frac{3}{2}.\frac{dz}{z}$

A ver si coincidimos

[Turing]

Re: Factor de integración

Llego a $\dst\frac{d \mu}{\mu } = -\frac{1}{2}.\frac{dz}{z}$. ¿Que pasos has seguido? Seguro que es una tontería porque creo que con tu solución si da el resultado correcto...

[oscarmuinhos]

Re: Factor de integración

Voy a comprobar mi solución, porque nos da una ecuación de la misma forma. Probablemente algún signo.

Haciendo $z = x^2 + y^2$, tendremos $\mu (z) = \mu (X^2 + y^2)$

con este factor integrante:
$P(x,y) = \dst \mu (z).(x-xy)$

$Q(x, y) =\dst \mu (z).(x^2 + y)$

Haciendo la derivación cruzada:

$\dst \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z }.2y.x(1-y) +\mu . (-x)$.

$\dst \frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z }.2x(x^2 + y) + \mu .2x$

Igualando:
$\dst \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z }.2y.x(1-y) - \mu . x = \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z }.2x(x^2 + y) + \mu .2x$

Cancelando $x$ y pasando la derivada de \mu (z) al primer miembro:

$\dst \frac{\mathrm{d} \mu}{\mathrm{d} z}(2y - 2y^2 -2x^2 -2y) = 3.\mu$

Que después de simplificar queda:

$\dst -2.\frac{d\mu}{dz}(x^2 + y^2) = 3.\mu.z$.

Teniendo en cuenta que $z = x^2 + y^2$ . y separando variables:

$\dst \frac{d\mu }{\mu}=-\frac{3}{2}\frac{dz}{z}$

[Turing]

Re: Factor de integración

Quizá es que llevo mucho rato pensando... Pero al poner cualquiera de los dos factores que nos han dado no me salen igual las parciales, debo estar quemado ya haha. Descansaré un poco y volveré a darle.

[oscarmuinhos]

Re: Factor de integración

No te dan iguales? Comprobaste que no es cuestión de sumar o restar una constante?

[Turing]

Re: Factor de integración

Sí Oscar, acabo de ver donde está mi error y ya me dan iguales las parciales. Muchísimas gracias, ahora intentaré resolver la ecuación y pongo la solución a ver si coincides.