1r ciclo Espejo

[Turing]

Hola,

el otro día estuve pensando en la forma que debería tener un espejo para que, si desde un punto le envío luz, esta sea reflejada en dirección paralela al eje de las abscisas. He llegado a la conclusión que debería ser cóncavo por lo que recuerdo de óptica de hace unos años, teniendo el punto o foco a la "derecha" del espejo (espero no equivocarme).
No obstante, he pensado que quizá podría demostrar esto partiendo de conceptos como los segmentos de tangente/normal y subtangente/subnormal de la asignatura de ecuaciones diferenciales. El problema es que no veo como, ¿se podría hacer?

Algo así imagino:

Un saludo.

[abuelillo]

Re: Espejo

Diria que buscas la ecuacion de la superficie de una parabola rotada sobre si misma, un paraboloide o espejo o antena parabolica de toda la vida.

[Turing]

Re: Espejo

Diria que buscas la ecuacion de la superficie de una parabola rotada sobre si misma, un paraboloide o espejo o antena parabolica de toda la vida.

Hallando esa ecuación encontraría que para cualquier punto interior de ese objeto de revolución tengo una paralela a las abscisas, ¿no?

A ver, si parto de la ecuación de una parábola

$\dst y^2=4kz$

donde k es la distancia de el vértice al foco y la revolucionamos, yo veo que para cualquier valor del eje vertical (Z) obtengo circunferencias paralelas al plano XY, las cuales tienen ecuación

$\dst x^2+y^2=r^2$

Por lo que,

$\dst x^2+y^2=4kz \to \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}=kz$

que es la ecuación del paraboloide, ¿no? ¿Aquí demuestro que para cualquier punto dentro de la cavidad del objeto en R³ obtengo circunferencias paralelas al plano XY y que, por lo tanto, en R² serán rectas paralelas al eje de las abscisas?

Aún así, no veo la forma de plantear una ecuación diferencial, ¿o es que he de partir de las definiciones de ecuaciones de las rectas tangente y normal?

- - - Actualizado - - -

Al final he conseguido hacerlo mediante una ecuación diferencial. He dividido la estructura y mediante diferentes igualdades he sacado una, que al resolverla, me ha proporcionado un paraboloide. En cuanto tenga tiempo pongo mis resultados.

[abuelillo]

Re: Espejo

Yo creo que no deberías partir de la ecuación de la parábola, porque la idea es llegar a ella sin conocer la solución de antemano.
Se puede plantear la ecuación teniendo en cuenta solo 2 dimensiones , ya que si después rotamos esa curva en una tercera dimensión, tendremos una superficie que se comportará igual por tener simetría radial.

La idea es que los rayos paralelos al eje X, sean reflejados siempre hacia el foco. Para eso la recta tangente de la curva tiene que tener una pendiente que haga que los ángulos $\alpha$ y $\beta$ sean iguales (angulo de incidencia = angulo de reflexión).
Podemos calcular que valor debe tener esa pendiente en función de las coordenadas (x,y) de la superficie, el foco se supone que esta en (0,0).
Se ve que la bisectriz (PP') de los rayos incidentes y reflejados tiene que ser perpendicular a la recta tangente de la curva, así que bastaría calcular la pendiente de esa bisectriz, y el inverso negativo seria la pendiente que se busca.
Pero algo más directo sería calcular directamente (FF') que es perpendicular a la bisectriz y por lo tanto su pendiente ya es igual a la de la curva.
Los lados FP,PF',FP',F'P' tienen que ser iguales, sino la recta marcada no seria la bisectriz y no dividiria en angulos iguales los rayos:

$F = (0,0)$
$P = (x,y)$
$FP = (x,y)$
$PF' = ( \left\vert{} FP\right\vert{},0) = ( \sqrt{x^2+y^2} , 0)$
$FF' =FP + PF' = ( x+\sqrt{x^2+y^2}, y)$
$Pendiente(FF') = \frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}$
$Pendiente(FF') = Pendiente(f(x)) = f'(x) = \frac{dy}{dx}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x\pm\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{-x\pm\sqrt{x^2+y^2}}{y}$

[arivasm]

Re: Espejo

El problema es sencillo de resolver si usamos coordenadas polares. Me referiré al dibujo de abuelillo. Si las coordenadas polares del punto P son $r$ y $\theta$, a la vista del rombo dibujado por abuelillo es muy sencillo apreciar que $\dst\alpha=\frac{\theta}{2}$ de manera que la ecuación a resolver será

$$\dst \frac{\dd y}{\dd x}=\tan\frac{\theta}{2}$$

Con el fin de facilitar el proceso consideremos sólo el rango $\theta\in[0,\pi]$, pues la simetría del problema claramente impone que la curva buscada será simétrica respecto del eje X. Esto equivale a decir que $\alpha\in[0,\pi/2]$ con lo que la tangente es positiva. Por tanto, ahorrándonos engorrosos $\pm$, tenemos que

$$\dst\frac{\dd y}{\dd x}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$

Introduciendo coordenadas polares en el miembro izquierdo, tenemos

$$\dst\frac{\dd r\sin\theta+r\dd\theta\cos\theta}{\dd r\cos\theta-r\dd\theta\sin\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$

que al reordenarse se convierte en

$$\dd r (1-\cos\theta) + r\dd\theta \sin\theta=0$$

es decir,

$$\dst\frac{\dd r}{r}=-\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\dd\theta$$

La integración es inmediata resultando

$$\dst r=\frac{A}{1-\cos\theta}$$

donde la constante de integración $A$ podemos encontrarla inmediatamente a través de la distancia $R$ entre el foco y punto de la curva para $\theta=\pi$ (es decir, el vértice del espejo):

$$\dst r=\frac{2R}{1-\cos\theta}$$

que es la ecuación de una parábola de eje el X y vértice en $(-R,0)$.

Terminaré señalando que es obvio que esta expresión es también válida para el otro rango de valores de $\theta$ que no consideré antes, y que podemos representar a través de $\theta\in[-\pi,0]$, pues $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$, lo que asegura que $r(-\theta)=r(\theta)$, como impone la simetría a la que me referí antes.

- - - Actualizado - - -

Añado:

Si estamos interesados en la forma cartesiana de la solución basta con hacer

$$\dst y=r\sin\theta=2R\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=2R\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}-x}$$

que al desarrollar pasa a

$$y^2=4R(R+x)$$

es decir

$$y=\pm 2\sqrt{R(R+x)}$$

- - - Actualizado - - -

Y añado más:

En el caso 3D que planteaba originalmente Turing, la ecuación del espejo en coordenadas cilíndricas será simplemente (7). En coordenadas cartesianas bastará con reemplazar (9) por

$$y^2+z^2=4R(R+x)$$

Recordemos que, siguiendo el enfoque propuesto por abuelillo, los rayos proceden de $+\infty$ paralelos al eje X. Quiero decir con esto que, por supuesto, si queremos que el eje del espejo sea otro (en algún post Turing usaba el Z) habrá que hacer la correspondiente rotación de ejes, de modo que tendríamos $x^2+y^2=4R(R+z)$

[Turing]

Re: Espejo

Gracias a los dos. Os pongo como lo he resuelto y me decís que os parece.

Partiendo de este dibujo:

$\dst i=r=\beta$ y $\alpha=i+r=2r=2 \beta$ y además sé que $\dst tg \beta= -\frac{1}{y'}$ y que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Empezando a operar,

$\dst tg \alpha = tg 2\beta = \frac{2tg\beta}{1-tg^2\beta}$

$\dst \frac{y}{x} = \frac{-2y'}{y'^2-1} \to y(y'^2-1)=-2xy \to yy'^2+2xy'-y=0$

Y resolviendo esta ecuación diferencial de segundo grado llego a $\dst y=\sqrt{K^2-2Kx}$ donde K es una constante.

Arivasm, creo que no llegamos a lo mismo. ¿Por qué crees que es? ¿Es incorrecto mi procedimiento? Si vemos que el error reside en la resolución de la ecuación diferencial pondré el desarrollo.

[abuelillo]

Re: Espejo

Turing la ecuacion que has escrito deberia estar bien, tienes una ecuacion de segundo grado, y si despejas y' sale exactamente la formula que plantee en mi post.

[Turing]

Re: Espejo

Anda, es cierto Abuelillo, que curioso.

[arivasm]

Re: Espejo

Arivasm, creo que no llegamos a lo mismo. ¿Por qué crees que es? ¿Es incorrecto mi procedimiento? Si vemos que el error reside en la resolución de la ecuación diferencial pondré el desarrollo.

Yo he llamado R a la distancia entre el vértice y el foco, es decir, la curva pasa por (-R,0). Substituyendo en $\dst y=\sqrt{K^2-2Kx}$ tenemos que $K^2+2KR=0$ luego $K=-2R$, de manera que $\dst y=\sqrt{4R^2+4Rx}=2\sqrt{R(R+x)}$, que es mi (9'). Por tanto, sí llegamos a lo mismo.