1r ciclo Problema de Sturm-Liouville

[gdonoso94]

Hola, muy buenas a todos. Estoy empezando con los problemas de contorno en una dimensión, pero no consigo resolver algunas cosas... A ver si me podéis echar una mano.

Resulta que tento el siguiente problema de contorno:

$\dst \begin{cases}<br /> y''-2y'+\lambda y=0\\<br /> y'(0)=y'(1)=0<br /> \end{cases}$

El problema está definido en el intervalo [0,1], en x, obviamente.

Entonces tengo que poner el problema de forma autoadjunta, esto es, multiplicando por una función peso. Esta función me sale:

$\dst s(x)=\exp\left(-2x\right)$

Con lo que el problema inicial queda de la forma autoadjunta:

$\dst \left[ \exp\left(-2x\right) y'\right]'+\lambda \exp\left(-2x\right) y =0$

Mi complicación surge al resolver a ecuación, porque casi la veo más complicada que la primera...

¿Alguien podría iluminarme?

Gracias de antemano.

Un saludo.

[Marce_]

Re: Problema de Sturm-Liouville

Hola!.

Creo que lo que estás intentando es llevar el problema a la forma de Sturm-Liouville cuando en realidad el mismo ya está dado. De hecho el enunciado es un problema S-L con condiciones en las derivadas (condiciones de Neumann). Lo que debes hacer a continuación es buscar la base ortonormal de soluciones que satisfagan el problema analizando $\dst \lambda$. Mirando el discriminante del polinomio característico vas a llegar a que el problema tiene solución (no trivial) $\dst \forall \lambda>1$. Y los autovalores serán (si no me equivoco):

$$\lambda_n =n^2\pi^2+1 \quad;\quad n \in \mathbb{N} .$$

Un abrazo!.-

[gdonoso94]

Re: Problema de Sturm-Liouville

No, mi duda es si a partir de la forma de S-L se puede hallar la solución de la EDO de forma más directa, sin resolverla como si fuera lineal, no sé si me explico.

Gracias, un saludo.

[Marce_]

Re: Problema de Sturm-Liouville

Te explicaste bárbaro, y mi primera respuesta sería que no, que debés resolver la ecuación diferencial del enunciado. De hecho voy a transcribir las condiciones que debe cumplir el problema regular (para mi más que nada) a ver si se me está escapando algo.


Un problema de Sturm-Liouville regular tiene la forma:

$$\dfrac{\dd}{\dd x}\left[p(x)\dfrac{\dd y}{\dd x}\right] + q(x)y + \lambda \sigma(x)y =0\quad , \quad a<x<b \ .$$

Con $\dst p(x),q(x), \sigma (x)$ continuas en [a,b] y $\dst p(x), \sigma (x) > 0 \,\, \forall x \in$ [a,b].


Es verdad que el problema de contorno como te lo dieron no tiene la forma de un problema S-L regular, cosa que luego comprobaste al poder encontrar la función de peso $\dst \sigma(x)=e^{-2x}$ y más aún, $\dst \sigma(x)=p(x)$ y $\dst q(x)=0$ con lo cuál se cumplen todas las condiciones.


Si trabajas sobre la última ecuación diferencial te queda:

$$\sigma(x)\left[y''-2y'+\lambda y\right] =0 \ .$$

Y como $\dst \sigma(x)$ además de cumplir con las hipótesis es $\dst \neq 0\,\, \forall x \in \mathbb{R}$:

$$y'' -2y' + \lambda y=0 \ .$$

De esta no vas a poder safar. Si fuera un problema de Dirichlet quizás (1) podría llegar a ser susceptible de ser resuelta por Laplace sin complicarse la vida.


Un abrazo.-

[gdonoso94]

Re: Problema de Sturm-Liouville

Muchas gracias por tu respuesta, en conclusión saco que hay que resolver la EDO de alguna forma conocida y discutir según el valor de $\lambda$, ¿me equivoco?

Un saludo.

[Marce_]

Re: Problema de Sturm-Liouville

Así es. Si no me equivoco el caso más complicado que podés llegar a tener es el de justamente tener que resolver una ecuación diferencial completa (como en este caso), luego vienen las condiciones de contorno no homogéneas, pero ese es otro cantar. Lo bueno de todo esto es que las bases de soluciones que obtengas $\dst \left( \lambda_n \quad,\quad y_n(x)\right)$ de la batería de problemas que seguramente tengas para resolver, luego se convierten en una especie de tabla (como las derivadas). A lo que voy es que muchas ecuaciones en derivadas parciales (ecuación de calor, de onda, de Laplace, de Schr[FONT=arial]ö[/FONT]dinger), presentan en su resolución problemas S-L que no vas a tener que resolver, ya que vas a conocer perfectamente la base de soluciones.

Un abrazo!.-