1r ciclo Solución general ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

[Paul Dirac]

Si la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes tienen dos raíces$\lambda1$ y $\lambda2$ iguales, entonces las soluciones son ${e}^{x\lambda }$ e ${xe}^{x\lambda }$

¿Alguien podría explicarme por qué ${xe}^{x\lambda }$ es solución?

¡Gracias!

[Rodri]

Re: Solución general ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

Considera una ecuación de segundo orden lineal, homogénea y de coeficientes constantes:

$y'' + by' + cy = 0$

Su ecuación característica es


$s^{2} + bs + c = 0$

Si los coeficientes b y c son tales que la raíz de esta ecuación es doble (s=$\lambda$), entonces esto implica una condición en el discriminante. Encuéntrala. Es muy fácil. Te lo pongo como "ejercicio al lector"

Luego considera la función de prueba $y=xe^{\lambda x}$, calcula y' e y'' y sustitúyelas en la ecuación diferencial, teniendo en cuenta la condición que has encontrado que liga los coeficientes b y c.

Verás entonces que la ecuación se satisface.