1r ciclo existencia y unicidad

[jo0000se]

Se da el siguiente enunciado:

tenemos 2 soluciones de una ecuacion del tipo
y'' + P(t) y' + Q(t)y = 0 siendo P y Q continuas en I. Suponemos que las 2 soluciones k tenemos valen 0 para un cierto t. Debemos provar que ambas soluciones son lineamnete dependientes en I.

Se hace el determinante Wronskiano y ala, a correr. Da un 0 precioso. Sin embargo no veo claro el razonamiento... vamos, que no acabo de entender lo de existencia y unicidad.

El teorema dice que si tenemos una ec de ese tipo con coefs constantes en un determinado t, las soluciones dados unos determinados valores iniciales existen y son unicas. Mi duda es, en este caso tenemos una solución y = 0 que cumple la ecuación, por qué no pueden haber 2 soluciones más, que cada una corte con una pendiente diferente? Tendriamos existencia y unicidad, ya que aunque intersecten las pendientes serían diferentes... si alguien pudiera ayudarme me haría un favor, gracias!!!!

[carroza]

Re: existencia y unicidad

Se da el siguiente enunciado:

tenemos 2 soluciones de una ecuacion del tipo
y'' + P(t) y' + Q(t)y = 0 siendo P y Q continuas en I. Suponemos que las 2 soluciones k tenemos valen 0 para un cierto t. Debemos provar que ambas soluciones son lineamnete dependientes en I.

Se hace el determinante Wronskiano y ala, a correr. Da un 0 precioso. Sin embargo no veo claro el razonamiento... vamos, que no acabo de entender lo de existencia y unicidad.

El teorema dice que si tenemos una ec de ese tipo con coefs constantes en un determinado t, las soluciones dados unos determinados valores iniciales existen y son unicas. Mi duda es, en este caso tenemos una solución y = 0 que cumple la ecuación, por qué no pueden haber 2 soluciones más, que cada una corte con una pendiente diferente? Tendriamos existencia y unicidad, ya que aunque intersecten las pendientes serían diferentes... si alguien pudiera ayudarme me haría un favor, gracias!!!!

Hola.
Yo se poco, y me interesan poco, los teoremas de existencia y unicidad. No obstante, creo que puedo tratar de responder a tu pregunta.

1) Una ecuación diferencial de segundo orden tiene una solución única, si conoces la funcion y la derivada en un punto. Integras numericamente hacia delante y hacia detras, y tienes tu solución.

2) Una ecuación homogénea, si tiene como solución y=f(t), también tendrá como solución y=A f(t), para A arbitraria. Todas estas soluciones son, obviamente, linealmente dependeintes.

3) Si tienes dos soluciones que se anulan para un t=T dado,
$f_1(T)=0, f_2(T)=0$ y son distintas, sus derivadas deben ser diferentes. Pero si sus derivadas son diferentes, existe un factor A que relaciona ambas
$f'_1(T)=A f'_2(T)$. Como la función y la derivada en un punto determinan
la funcion completa, y como A es el factor que relaciona las dos soluciones en el entorno de T, entonces se cumple que $f_1(t) = A f_2(t)$, para todo t.

[Eichs]

Re: existencia y unicidad

Hola.

Veamos, por ser $P$ y $Q$ continuas esta garantizada la existencia de soluciones, pero OJO!!, la solución de la ecuación diferencial será única siempre que se tengan condiciones iniciales, esto es, siempre que se tenga un problema de valor inicial como el siguiente

$y'' + P(t) y' + Q(t)y = 0$
$y(t_{0})=y_{0}$ y $y'(t_{0})=y_{1}$

Por otro lado, si solo indicamos la ecuación $y'' + P(t) y' + Q(t)y=0\dots(\alpha)$, ocurre que su espacio solución tiene dimensión dos (el orden de la ecuación difenrencial) es decir existen dos funciones $y_{1}$ y $y_{2}$ que verifican la ecuación $(\alpha)$, que son linealmente independientes y que cualquier otra solución es combinación lineal de estas funciones.

Sobre la deducción que haces al encontrar el Wronsquiano de la función, es correcta pues si tenemos que si el Wronskiano de dos (o en general $n$) soluciones de una ecuación diferencial se anula en un punto, entonces se anula en todos sus puntos.

Si te queda alguna duda, pregunta.

Saludos.