1r ciclo Estabilidad puntos críticos

[azerbayan]

Buenas, no se como puedo calcular la estabilidad de un punto crítico de una ecuación diferencial de este tipo:
$\frac{dx}{ dt}=-y+\mu*x*(1-({x}^{ 2}+{y}^{ 2}))$
$\frac{dy}{dt }=x+\mu*y*(1-({x}^{ 2}+{y}^{ 2}))$
Esta claro que un punto crítico es el (0,0) pero me gustaría saber como puedo saber si los puntos críticos o los ciclos límite son estables o inestables en estos casos.
Un saludo.

[Bustikiller]

Re: Estabilidad puntos críticos

¿Métodos Matemáticos II de la UNED?

Para analizar la estabilidad de los puntos críticos tienes que hallar los autovalores del jacobiano de las funciones F(x, y) y G(x, y) definidas, como tu has dicho, según:

$$F(x, y) =\frac{dx}{ dt}=-y+\mu*x*(1-({x}^{ 2}+{y}^{ 2}))$$

$$G(x, y)= \frac{dy}{dt }=x+\mu*y*(1-({x}^{ 2}+{y}^{ 2}))$$

Una vez obtenido el jacobiano, sustituye para el punto que estés considerando, y calcula los autovalores del jacobiano. Dependiendo de la forma de los autovalores tienes distintos tipos de puntos:

• Dos autovalores reales
  • Ambos negativos: tienes un polo asintóticamente estable
  • Uno negativo y uno positivo: tienes un punto de ensilladura
  • Ambos positivos: tienes un polo inestable
  
  
• Dos autovalores imaginarios. Los dos autovalores tienen la misma parte real.
  • La parte real es negativa: tienes un foco asintóticamente estable
  • La parte real es nula (los autovalores son números imaginarios puros): tienes un centro ¿inestable? Creo que sí pero no recuerdo bien
  • La parte real es positiva: tienes un foco inestable

Saludos!

[azerbayan]

Re: Estabilidad puntos críticos

Gracias bustikiller. Efectivamente métodos 2 de la uned, tu también? jajaja.
Por cierto, si convertimos la ecuación a polares el procedimiento para calcular y clasificar los puntos críticos es el mismo?
Un saludo.

[Bustikiller]

Re: Estabilidad puntos críticos

Sí, métodos 2... maldito septiembre.

En cuanto a lo de las polares ya me pillas, no obstante creo que sería lo mismo... la definición de punto crítico es aquel punto que se mantiene "donde está" si se coloca desde el reposo, en coordenadas cartesianas tanto la derivada respecto de x como de y es nula, supongo que en polares el hecho de que la derivada respecto del radio y el ángulo sea nula también garantiza que es un punto crítico.

Suerte y ánimo

[azerbayan]

Re: Estabilidad puntos críticos

Gracias, suerte y ánimo a ti también!