1r ciclo Encontrar ecuación diferencial de una familia 1-paramétrica (en forma paramétrica)

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, realizando un ejercicio me estaba desesperando, llevo ya más de un día con el siguiente problema:



Y bueno, después de demostrar que x=x(u) es inyectiva, aplico la regla de la cadena y obtengo, al derivar, simplificar y hacer todos los pasos, que y' = tg(u). En otros ejercicios, del enunciado se despeja algo y se puede continuar pero en este, estoy completamente estancado, agradecería un poco de ayuda para terminar de obtener la ecuación diferencial.


Muchas gracias y siento ser tan pesado, no termino de acostumbrarme a este temario

[Jose D. Escobedo]

Re: Encontrar ecuación diferencial de una familia 1-paramétrica (en forma paramétrica)

$x^2+y^2=a^2(1+u^2)\Rightarrow$

$r^2=a^2(1+u^2)$ de aquí derivando $r$ respecto a $u$ y eliminando la constante $a\Rightarrow$

$(1+u^2)^2 {\dot r_u }^2 -u^2 r^2=0$ la cual es la ecuación diferencial en polares.

Saludos

[relojdepared]

Re: Encontrar ecuación diferencial de una familia 1-paramétrica (en forma paramétrica)

Pero y si directamente derivas x(u) por un lado e y(u) por el otro, llegas a una expresion en la que $\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} } = \tan u$, por lo tanto $\tan u = \arctan \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} }$. Y ahora buscas una relacion entre x(u) e y(u), yo lo he hecho dividiendo por cos(u) las ecuaciones parametricas y ya saco una relacion, sustituyes tan(u) y u y ya tienes la ecuacion diferencial de la familia.

Un saludo