1r ciclo Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

[SCHRODINGER27]

Hola muy buenas, después de calentarme la cabeza, no consigo sacar nada en claro de este ejercicio:



Lo primero que hago es calcular los volúmenes:


$V_A = 5000 -8t + 2t + 6t = 5000$
$V_B = 5000 - 9t - 2t + 3t + 8t = 5000$
$V_C = 5000 - 6t - 3t + 9t = 5000$


es decir, todos permanecen igual. También decir que:

$x(t=0) = 10$
$y(t=0) = 0$
$z(t=0) = 0$

Calculando la tasa de variación, después de dividir entre la variación del tiempo y hacerla infinito, llego a

$x'(t) = - \frac{8}{5000}x(t) + \frac{2}{5000}y(t)$
$y'(t) = \frac{8}{5000}x(t) - \frac{11}{5000}y(t) + \frac{3}{5000}z(t)$
$z'(t) = \frac{9}{5000}y(t) - \frac{9}{5000}z(t)$

La primera duda que me asalta es si tengo que introducir en la primera ecuación, la de x'(t), "+6", convirtiendo así el sistema en no homogéneo. La duda viene de que, como es de agua pura, no interviene en la cantidad de sal...

La siguiente duda es cómo resolver eso, sacar los valores propios de esa matriz A(t) es muy feo... ¿Alguna sugerencia?

Muchas gracias de antemano

[alexpglez]

Re: Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

No conozco muchos metodos, pero por transformadas de laplace podrias hacer un sistema algebraico con tres incognitas facil de resolver, y despues aplicar la transformada inversa...
Claro que seguro que hay métodos mucho más eficientes.
Un saludo

[visitante20160513]

Re: Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

Este tipo de problemas suele salir planteando una o varias ecuaciones diferenciales puesto que las concentraciones y sus derivadas respecto del tiempo están definidas en el enunciado, aunque en ese enunciado hay cosas que no acabo de entender, quizás vendría bien una figura del circuito de agua que se establece.

Salu2, Jabato.

[SCHRODINGER27]

Re: Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

He hecho este (penoso) dibujo, espero aclare dudas:



Yo entiendo el enunciado así, que alguien me corrija si es incorrecto

[visitante20160513]

Re: Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

Si, si, aclara las dudas, aunque ahora no puedo dedicarle tiempo, mañana lo intentaré. El dibujo es muy bueno hombre.

Salu2, Jabato.

[sater]

Re: Tres tanques interconectados (problema de mezclas)

Yo también lo entiendo así, y si no fuera por el aporte externo de agua pura al A y la salida de agua con sal en el C sabría plantearlo de la forma x'(t)=algo que sea función de x e y, e igual para y,z, pero no sé como incluir esos términos.