Otras carreras Ecuación del problema de dos cuerpos (gravedad clásica)

[alexpglez]

Estoy tratando de entender como se resuelve la ecuación. Entiendo lo de tomar el vector en coordenadas polares derivar dos veces y de ahí deducir

$$\frac{\dd^2 r}{\dd t^2}-r(\frac{\dd \alpha}{\dd t})^2=-G\frac{M}{r^2}$$

y

$$r\frac{\dd^2 \alpha}{\dd t^2} +2\frac{\dd r}{\dd t}\frac{\dd \alpha}{\dd t}=0$$

Solucionando la segunda $C_1=\frac{\dd \alpha}{\dd t}r^2$ Y además con el cambio de variable $u=r^{-1}$ Transformar la primera ecuación en:

$$\frac{\dd^2 u}{\dd \alpha ^2}+u=\frac{GM}{C_1^2}$$

Lo que no me sale es solucionar esta, lo he intentado por Laplace, pero me queda

$$u=\frac{GM}{C_1^2}-\frac{GM}{C_1^2}\cos \alpha +u_0\cos \alpha + u'_0\sin \alpha$$

y no se seguir transformando...
La solución leí que tiene que quedar

$$u=\frac{GM}{C_1^2}(1+e \cos \alpha)$$

Y

$$r=\frac {C_1^2/GM}{1+e \cos \alpha}$$

Después supongo que para obtener las ecuaciones de posición, velocidad etc. en función de $\vec v_0$ y $\vec r_0$ habría que multiplicar la ecuación anterior por el vector radial derivarlo y sacar las diferentes constantes $e$ y $C_1$¿??

Muchas gracias por adelantado

- - - Actualizado - - -

¿? alguien me puede decir cómo resolver la ecuación diferencial y que me quede de esa manera¿?
He sacado las ecuaciones de wikipedia por si no queda claro del todo, Propiedades del movimiento, apartado órbita.
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_dos_cuerpos

[Samir M.]

Re: Ecuación del problema de dos cuerpos (gravedad clásica)

La ecuación diferencial se resuelve suponiendo que la solución es del tipo $u(\alpha) = exp(r\alpha)$