Otras carreras Duda con transformada de laplace

[alexpglez]

Hola, había intentado resolver una ecuación de este tipo (con respecto a x):

$$x y' + y + Bx=0$$

Haciendo la transformada, respetando las fórmulas correspondientes saco:

$$L[x y]=(-1) (sF(s)-y_0)' = -F(s) -sF(s)'$$

$$L[y]=F(s)$$

$$L[B x]=B \frac{1}{s^2}$$

Y la ecuación me queda:

$$-F(s) -sF(s)' +F(s) + B \frac{1}{s^2}=0$$

Que puedo fácilmente despejar

$$\dd F(s)= B \frac{\dd s}{s^3}$$

$$F(s)= -\frac{B}{2} \frac{1}{s^2} + BC$$

Me ha quedado un BC que no sé que hacer para aplicar la transformada inversa. ¿Cómo se acaba de resolver?

Gracias de antemano

[Samir M.]

Re: Duda con transformada de laplace

Una de las condiciones para la existencia de la transformada de laplace, es que $y$ sea continua por partes. Esto implica que la función va a ser acotada en cualquier intervalo compacto en el que esté definida, luego se puede probar (adjuntanto alguna condición más) que una condición suficiente para la existencia de la transformada es que

$$\lim_{s \to \infty} F(s) =0$$

Aplicando esto a tu resultado, observamos que o bien $B = 0$ o $C = 0$. En este caso es obvio que $C = 0$. Así, te queda que

$$\usepackage[mathscr]{euscript} F(s)= -\frac{B}{2} \frac{1}{s^2} \iff \mathscr{L}^{-1} (F(s)) = y(x) = \mathscr{L}^{-1}(-\frac{B}{2} \frac{1}{s^2}) = -\frac{B}{2} \mathscr{L}^{-1}( \frac{1}{s^2}) = -\frac{xB}{2}$$

donde hemos usado la linealidad de la transformada inversa de Laplace, es decir, que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con $\lambda$ una constante.

Ojo, lo que has hallado es una solución particular correspondiente a la condición inicial $y(0) = 0$, no la solución general de la EDO lineal. Esto es así por definición de transformada de Laplace.

- - - Actualizado - - -

Tienes una errata, no es $\displaystyle F(s)= -\frac{B}{2} \frac{1}{s^2} + BC$ sino $\displaystyle F(s)= -\frac{B}{2} \frac{1}{s^2} + C$ (no altera para nada tu pregunta ni mi respuesta)

[alexpglez]

Re: Duda con transformada de laplace

Y finalmente se podría buscar una solución general a partir de la solución obtenida¿?

[Samir M.]

Re: Duda con transformada de laplace

No, esa solución es particular para unos valores dados. Es análogo a la diferencia de una integral definida y una integral indefinida.