1r ciclo Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

[alexpglez]

Hola, tenía una duda acerca de las formas de expresar las solución del MAS y para después como simplificar con el mismo método en otras:

$$\frac{\dd ^2 x}{\dd t^2}=-\frac{k}{m}x$$

Sé que resolviendo la ecuación por los medios habituales, suponiendo que es una exponencial, hallando la constante k (del exponente), expresando las soluciones como combinación lineal, hallando después las constantes y reagrupando, queda:

$$x=x_0 \cos \sqrt{\frac{k}{m}}t + \frac{v_0}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}}t$$

He visto también que se puede escribir de la forma:

$$x=A \cos (\omega t + \varphi)$$

Y que realizando operaciones se obtiene A y varphi expresado con las constantes v_0 x_0 y omega.

Mi pregunta es, cómo se puede obtener A y varphi a partir de la segunda ecuación que he escrito, la de x(t) con parámetros x_0 y v_0¿?

Un saludo, gracias

[sater]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

Buenas. Lo primero es que la que has puesto tú como solución es una solución particular, no tiene constantes arbitrarias (2 en este caso por ser de segundo orden) por lo que al pasar a la segunda lo harías con valores concretos. El paso se hace notando que la solución tiene forma del desarrollo de un coseno de la suma de dos ángulos (o de un seno).
Un saludo

[alexpglez]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

Ya conseguí la amplitud, dando un máximo al espacio, es decir cuando la velocidad es 0, después de mucho simplificar se obtiene la fórmula:

$$A^2=x_0^2+\frac{v_0^2}{\frac{k}{m}}$$

El paso se hace notando que la solución tiene forma del desarrollo de un coseno de la suma de dos ángulos (o de un seno).

Dices que se hace con una fórmula de sumar coseno + seno, para llegar al coseno de una suma, la otra fórmula¿?
Creo que sí que leí que se podían hacer éstas operaciones con fasores, me debería entonces mirar bien la teoría.
Gracias Sater

[sater]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

La solución tiene forma del desarrollo $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ (o del desarrollo de $\sin(a+b)$ como prefieras) y ya identificas con tu expresión.

[alexpglez]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

Ya sé que también se puede hacer así, pero yo digo al revés, llegar de lo primero a lo segundo, no suponiendo lo segundo e identificandolo con lo primero.

[sater]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

Si la hay no conozco la manera.
Un saludo

[alexpglez]

Re: Pequeña duda resolución ecuación diferencial con ejemplo el MAS

Pues perdón porque el hilo entonces no tendría que ir aquí.
Pues estaba tratando de entender esto último, con lo que se demuestra. Se toma la parte real o imaginaria de una exponencial para las funciones trigonométricas (para ello paso el coseno a seno), se extraen factores comunes, se halla nueva fase y amplitud, y se deja en la forma de función trigonométrica.

$$x=x_0 Im[e^{i(\omega t+\frac{\pi}{2})}] + \frac{v_0}{\omega}Im[e^{i\omega t}]$$

$$x_0e^{i(\omega t+\frac{\pi}{2})}+\frac{v_0}{\omega}e^{i\omega t}=x_0e^{i\omega t}e^{i\frac{\pi}{2}}+\frac{v_0}{\omega}e^{i\omega t}=e^{i\omega t}(x_0e^{i\frac{\pi}{2}}+\frac{v_0}{\omega})$$

Ahora se saca el término entre paréntesis en un nuevo módulo y argumento.

$$Ae^{i\varphi}=x_0e^{i\frac{\pi}{2}}+\frac{v_0}{\omega}$$

$$A^2=(x_0e^{i\frac{\pi}{2}}+\frac{v_0}{\omega})(x_0e^{-i\frac{\pi}{2}}+\frac{v_0}{\omega})=x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} + 2x_0\frac{v_0}{\omega}\cos \frac{\pi}{2}=x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}$$

$$\varphi=\arctan \frac{Im}{Re}=\arctan \frac{x_0\sin \frac{\pi}{2}}{x_0\cos \frac{\pi}{2}+\frac{v_0}{\omega}}=\arctan \frac{x_0}{\frac{v_0}{\omega}}=\arctan \frac{x_0\omega}{v_0}$$

Y ya estaría.

$$x=A\sin (\omega t + \varphi)=x_0\cos \omega t +\frac{v_0}{\omega}\sin \omega t$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\varphi=\arctan \frac{x_0\omega}{v_0}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$