Otras carreras Velocidad en función de la distancia

[Josess]

Estoy estudiando ecuaciones diferenciales y me tope con esta que no puedo resolver, he probado varias sustituciones y no me llevan a ningún lado
.

[Mossy]

Re: Velocidad en función de la distancia

Hola,

Tan solo aplica la regla de la cadena a la derivada para obtener $\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt}$ y sabiendo que $\frac{dx}{dt} = v$ ya te queda sencillo para integrar.

Saludos,

[Alriga]

Re: Velocidad en función de la distancia

Como dice Mossy:

$\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{P-kv^3}{mv}$

$\dfrac{dv}{dx}v=\dfrac{P-kv^3}{mv}$

Y finalmente queda a resolver:

$\dfrac{dv(x)}{dx}=\dfrac{P-k[v(x)]^3}{m[v(x)]^2}$

$\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{P-kv^3}{mv^2}$

Que escrita así:

$v'+\dfrac{k}{m}v=\dfrac{P}{m}v^{-2}$

Es una ecuación diferencial de Bernoulli.
Saludos

[Mossy]

Re: Velocidad en función de la distancia

Alriga,

En realidad la ecuación es de variables separadas. Fíjate que despejando los diferenciales y separando variables te queda $\frac{m v^2}{P-k v^3} dv = dx$

Sólo queda integrar y despejar $v$ como función de $x$.

Saludos,

[Alriga]

Re: Velocidad en función de la distancia

En realidad la ecuación es de variables separadas. Fíjate que despejando los diferenciales y separando variables te queda

$\dfrac{m v^2}{P-k v^3} dv = dx$

Ya me había dado cuenta de que era en variables separadas. Pero no me había dado cuenta de:

Sólo queda integrar...

1. Que la integral es prácticamente inmediata

$-\dfrac {m\ln(P-kv^3)}{3k}=x+C$

... y despejar $v$ como función de $x$

2. Y no esperaba que al integrar, la Velocidad solo apareciese una vez, (aparece al cubo). Imaginaba que al integrar en el primer miembro aparecería una función complicada f(v) de la que sería imposible despejar v(x), por eso sugerí que aplicando Bernoulli se obtenía directamente v(x)

Gracias Mossy, tienes razón, como tú dices es más sencillo, saludos.