Otras carreras Retrato de fase o diagrama de fase

[cristianoceli]

Hola tengo alguna dudas con este ejercicio:


Lo que he hecho


- Primero encontramos los puntos críticos


pto critico (1,1)


- Como no esta en el origen vamos a trasladar el punto al origen


$u = x-x_0$
$v= y-y_0$


$u= x-1$
$v= y-1$


$u'= x'=x+2y-3 = (u+1)+2(v+1)-3 = u+2v$
$v'= y'=4x-y-3= 4(u+1)-(v+1)-3 = 4u-v$


- Luego tenemos el sistema
$u'= u+2v$
$v'= 4u-v$


$\displaystyle{u' \choose v'} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \displaystyle{u \choose v}$


- Calculando valores propios


$\begin{vmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 4 & -1 - \lambda \end{vmatrix}$


$(1- \lambda ) (-1 - \lambda ) -8 = 0$
$\lambda = \pm{3}$ (punto silla)


- Calculando las isoclinas


$x= -2y+3$ Vertical , $y=4x-3$ horizontal


- Si $x= -2y+3 \Longrightarrow{-9y+9=0}$
- Si $y = 4x-3 \Longrightarrow{9x-9 = 0}$


- Gráfico isoclinas (adjunto)






Lo que no se es como hacer el retrato de fase si alguien fuera tan amable y me da una mano pues me complica bastante.


b) Expresión de las órbitas


Órbitas


$x' = x+2y-3$
$y' = 4x-y-3$


La expresión de las órbita es


$\displaystyle\frac{dy/dt}{dx/dt} = \displaystyle\frac{4x-y-3}{x+2y-3}$
$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{4x-y-3}{x+2y-3}$


Resolviendo la ecuación diferencial (es exacta) resulta:


$2x^2-yx-3x-y^2+3y = c$ que es la expresión de las órbita ¿Esta bien? es que wolfram me da otro valor y tengo dudas