1r ciclo Problema II

[The Higgs Particle]

La velocidad de acumulación de basura en un vertedero viene dada por: $\frac{d(x(t))}{dt} = k x^2$. Me dicen que $x(0) = 3; x(2) = 9$ y me preguntan que qué consecuencias "desastrosas" tendrá el modelo de acumulación.


$\int \frac{d(x(t))}{x^2} = k \int dt \to \frac{-1}{x} = kt + C \to x (t) = \frac{-1}{kt + C}$

Además, me sale que $C = \frac{-1}{3}; k = \frac{1}{9}$. Entonces, $x(t) = \frac{-1}{t/9 - 1/3}$

Y el límite de esto (cuando $t \to \infty$) es cero, así que o lo estaré haciendo mal, pues no sé responder al último apartado

[Alriga]

Re: Problema II

Lo has hecho bien.
Para ver la catástrofe da valores al tiempo, 0, 1, 2, 2.5, 2.9, 2.99, 2.999,......, 2.999999,..... 3
¿Ves la catástrofe?
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Problema II

Que cuando $t \to 3^-$ la concentración de basura es "$\infty$" (por la derecha es menos infinito); hay una asíntota vertical

[Alriga]

Re: Problema II

En efecto, cuando te acercas a 3 unidades de tiempo la acumulación de basura tiende a infinito.
Tú buscabas la catástrofe muuuuy lejos, ($t \to \infty$) cuando la tenías a la vuelta de la esquina,
Saludos.

[arivasm]

Re: Problema II

Es un buen ejemplo de cómo "poner bonitas" las cosas ayuda: si seguimos un poco más y eliminamos esas feas fracciones en el denominador, $\dst x(t) = \frac{-1}{t/9 - 1/3} = \frac{9}{3-t}$, el comportamiento asintótico se ve con más claridad.

[The Higgs Particle]

Re: Problema II

Como estos ejercicios suelen ser de los que te piden el límite al infinito, ni había pensado en las asíntotas y la anulación del denominador :P