1r ciclo Ecuación del calor en una placa cuadrada

[Mossy]

Hola,
me pusieron el siguiente ejercicio en un examen: sea una placa cuadrada de grosor despreciable definida por las coordenadas $x, y \in [0, L]$. La evolución con el tiempo $t$ de su propio campo de temperaturas $u(x,y,t)$ viene dada por la ecuación del calor con un término de pérdidas

$$k( u_{xx}+u_{yy})-h u= u_t$$

La placa se encuentra a temperatura cero en los lados $x=0$ y $x=L$, y aislada térmicamente en los lados $y=0$ e $y=L$. Si la condición inicial es

$$u(x,y,0)=\frac{y}{L} \sin (\frac{2 \pi x}{L})<br />$$

calcular la temperatura de la placa para cualquier $x, y, t$. NOTA: aislamiento térmico en una frontera implica que la derivada de la temperatura normal a la frontera es 0.

He empezado a resolver por separación de variables $u(x,y,t)= X (x) Y (y) T (t)$ e introduzco las constantes $\alpha$ y $\beta$ tales que

$$X''=-\alpha ^2 X$$

$$Y''=-\beta ^2 Y$$

La parte de $X$ aplicadas las condiciones de contorno me da $X_n= A_n \displaystyle \sin (\frac{n \pi x}{L})$ que parece coincidir con la condición inicial, así que intuyo que voy bien. Pero después tengo problemas con la parte de la $Y$, porque si digo que $\beta ^2 \textgreater 0$ sería un "oscilador armónico" y al aplicar la condición de aislamiento me da una solución no trivial, similar a la anterior pero en vez de $n$ introduzco $m$.
El caso es que después al aplicar la condición inicial no encuentro la forma de que cuadren las cosas, no puede haber en un lado $y$ y en otro lado $\sin (tatata\; y)$. Así que vuelvo atrás y digo que $\beta ^2 =0$ y la solución es una recta. Pero no logro aplicar las condiciones para que me quede $\displaystyle \frac{y}{L}$ (entiendo que lo de aislado térmicamente quiere decir $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} (y=0) = \frac{\partial u}{\partial x} (y=L)= 0$ ).

Alguien puede echarme un cable?

Saludos,