1r ciclo Ecuación diferencial no homogénea

[CarlosPerez]

En el siguiente ejemplo; "Una partícula se mueve en un medio viscoso con resistencia proporcional a la velocidad, R(v) = mgcv. Obtener la trayectoria"

Las ecuaciones diferenciales son:

$\ddot{x}=-gc\dot{x}$
$\ddot{z}=-gc\dot{z}-g$

Al resolver la primera de estas ecuaciones hace:

$\dfrac{\ddot{x}}{\dot{x}}=-gc$ $\longrightarrow$ $\ln \dfrac{\dot{x}}{v_0{_x}}=-gct$

No entiendo cómo llega a este logaritmo en el primer miembro, sé que lo que se ha hecho ha sido integrar con respecto a dt pero nada más. Gracias.

[Richard R Richard]

Puedes hacer un cambio de variables
$y=\dot x$
De donde $\dot y=\ddot x$

Reemplazando

$\dfrac{\ddot x}{\dot x}=\dfrac{\dot y}{ y}=-gc$

con los dos últimos términos integras ,las condiciones de contorno tienes unidades de y osea de derivadas temporales de x en una velocidad.

En segundo caso puedes integrar el mismo tipo de cambio

$y=-gc\dot x-g$ con $\dot y=-gc\ddot x$

Reemplazas , integras, aplicas las condiciones de contorno y luego vuelves hacia atrás el cambio de variables...

[CarlosPerez]

$\dfrac{\ddot x}{\dot x}=\dfrac{\dot y}{ y}=-gc$

con los dos últimos términos integras ,las condiciones de contorno tienes unidades de y osea de derivadas temporales de x en una velocidad.

En segundo caso puedes integrar el mismo tipo de cambio

$y=-gc\dot x-g$ con $\dot y=-gc\ddot x$

Reemplazas , integras, aplicas las condiciones de contorno y luego vuelves hacia atrás el cambio de variables...

He intentado hacerlo siguiendo los pasos que me dices Richard, pero no llego al resultado. Veámoslo:

Con la primera ecuación, integrando el segundo y tercer miembro:

$\dst\int\dfrac{\dot{y}}{y}\,dt = \int -gc\,dt$ $\quad$$\longrightarrow$$\quad$ $ylny = -gct$

La integración del segundo miembro es trivial pero la del primero debe estar mal resulta ¿dónde está mi error?
Además no sé cómo aplicar las condiciones de contorno para resolver la ecuación diferencial, supongo que será partiendo de
t = 0 $\longrightarrow v_{0_x} = 0$

Para la segunda ecuación tengo los mismos problemas a la hora de integrar y aplicar condiciones de contorno, la verdad es que estoy bastante pez en el tema de las ecuaciones diferenciales, me falta base matemática, en el título he puesto que era una ecuación diferencial no homogénea cuando si lo es.

[JCB]

Hola a tod@s.

Partiendo de $\ddot{x}=-gc\dot{x}$,

$\dfrac{dv_x}{dt}=-gcv_x$,

$\dfrac{dv_x}{v_x}=-gcdt$,

$\dst\int_{v_{0x}}^{v_x} \dfrac{dv_x}{v_x}=-gc\dst\int_{0}^{t} dt$,

$ln\dfrac{v_x}{v_{0x}}=-gct$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Para la segunda parte hacer un cambio de variables

De donde $y=-gc\dot z-g$

si derivas

$\dot y=-gc\ddot z$

osea $\ddot z=\dfrac{-\dot y}{gc}$

Reemplazando

$\dfrac{-\dot y}{gc}=y$

$\dfrac{\dot y}{ y}=\dfrac{dy}{dt \, y}=-gc$

$\dst\int_{-gcv_{0z}-g}^{-gcv_z-g} \dfrac{dy}{y}=-gc\dst\int_{0}^{t} dt$

$ln\left(\dfrac{-gcv_{z}-g}{-gcv_{0z}-g}\right)=-gct$

pero $v_z =\dot z$

entonces

$\dfrac{-gcv_{z}-g}{-gcv_{0z}-g}=\ee^{-gct}$

$-gcv_{z}-g=(-gcv_{0z}-g)\ee^{-gct}$

$-gcv_{z}=(-gcv_{0z}-g)\ee^{-gct} +g$

$v_{z}=\dot z=\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{(-gcv_{0z}-g)\ee^{-gct} +g}{-gc}$

$\dfrac{dz}{dt}=(v_{0z}+\dfrac1c)\ee^{-gct}-\dfrac1c$

$\dst\int_{z_0}^{z} dz=\int_{t_0}^{t}\left((v_{0z}+\dfrac1c)\ee^{-gct}-\dfrac1c\right) dt$

$z=\dfrac{v_{0z}+\dfrac1c}{gc}\left(\ee^{-gct_0}-\ee^{-gct}\right)+\dfrac{t_0-t}{c}+z_0$


creo que queda así sino hice mal los cálculos sobre la marcha

si quieres comprobar deriva z dos veces y reemplaza valores para ver si puedes volver a formar la ED nuevamente.

[JCB]

Fantástico Richard. En la segunda ecuación, no había conseguido ver el cambio de variable necesario para poder separar las variables y después integrar.

[CarlosPerez]

Hola, la solución que aportas Richard es correcta.
Sobre las condiciones de contorno que se han de aplicar son los límites superior e inferior de las integrales definidas, mi error (entre otros) estaba en que utilizaba integrales indefinidas.