1r ciclo Ecuacion diferencial de segundo orden por integracion

[Hector001]

Gracias por su ayuda. Estoy resolviendo un problema de deflexion exacta de una viga y necesito resolver esta ecuación diferencial de segundo orden:

$\dfrac{d^2v}{dx^2}=\dfrac{3x\left(1+\left(\dfrac{dv}{dx}\right)^2\right)^{3/2}}{54000000}$

Encontrar $v(2)$ con las condiciones iniciales:

$v(0)=0$
$v(6)=0$
$v'(3)=0$

Realice un cambio de variable de y(x)=dv/dx , pero ahora llegue a esta integral y no se como obtener finalmente la gloriosa $v(x)$
$\dfrac{54000000\frac{dv}{dx}}{\sqrt[2 ]{(\frac{dv}{dx})^2+1}}=\dfrac{3x^2}{2}+C$

Alguna idea? muchas gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Se trata de la expresión de la curvatura exacta para una viga sometida a flexión pura.

$\dfrac{1}{r}=\dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)^{3/2}}$.

Si haces $z=\dfrac{dy}{dx}$,

$\dfrac{1}{r}=\dfrac{dz}{\left(1+z^2\right)^{3/2}}$. La integral del lado derecho de la igualdad es

$\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}}+cte$.

Y a partir de aquí sigues. De hecho yo nunca llegué a hacerlo, pues se considera, casi siempre, la simplificación de que $\dfrac{dy}{dx}\approx 0$, ya que en las vigas es conveniente de que la deformación, y por tanto la pendiente, sean pequeñas. Entonces,

$\dfrac{1}{r}\approx \dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.