Resolvente para un operador de coeficiente variable

[lindtaylor]

Hola. He estado estudiando el concepto de resolvente y me ha surgido una duda.

En el contexto de $\mathbb{R}$. Es natural tener que la resolvente para el operador de Laplace $A:=\partial_{x}^2$ sea $R(\lambda,A)u=\mathcal{F}^{-1}((\lambda+\xi^2)^{-1}\widehat{u})$ puesto que $L(\lambda,A)\circ R(\lambda,A)u=u=R(\lambda,A)\circ L(\lambda,A)u$ donde $L(\lambda,A)u=\mathcal{F}((\lambda+\xi^2)\widehat{u}$ con u una función adecuada (por ejemplo, una función de Schwartz).

Pero ahora si el operador es $A=x^2\partial_{x}^2$, es decir, un operador con coeficiente variable, por lo que veo todo se complica pues no se tiene una representación mediante la transformada de Fourier:
$(\lambda-x^2\partial_{x}^2)u(x)$
$=\int e^{ix\xi}(\lambda+x^2\xi^2)\widehat{u}(\xi)d\xi$
$=\int e^{ix\xi}\lambda \widehat{u}(\xi)d\xi+\int e^{ix\xi}x^2\xi^2\widehat{u}(\xi)d\xi$
$=\lambda u(x)+x^2\mathcal{F}^{-1}(\xi^2\widehat{u}(\xi))(x)$
y no sé si lo siguiente para el operador resolvente es válido:
$(\lambda-A)^{-1}u(x)=\int \mathrm{e}^{ix\xi}(\lambda+x^2\xi^2)^{-1}\widehat{u}(\xi)d\xi$

¿Cómo se procede o cuál es la técnica para encontrar la resolvente para un operador de esa forma?