Ecuacion de Airy

[Valeeen]

Hola buenos días/noches, espero que se encuentren bien.

Estoy estudiando "Aproximación WKB" en Cuántica, y me encontré con la ecuación de Airy:

$\frac{d^2 y(x)}{dx^2} = x y(x)$

En el libro que estoy utilizando para estudiar solo nombra las dos soluciones Ai(x) y Bi(x), pero no da mas detalle. Por lo que me propuse la tarea de resolverla y obtener la solución. Para esto, lo primero que se me vino a la mente fue realizar una transformada de Fourier y ver a que puerto llegaba. Al hacer eso la ecuacion diferencial se reduce de orden y se obtiene la siguiente ecuacion:

$\frac{dY(\omega)}{d\omega}=i\omega^2 Y(\omega)$

La cual es facilmente resoluble, y uno logra obtener $Y(\omega)=Ae^{i\frac{\omega^3}{3}}$ y lo que resta es hacer la anti transformada. Al hacer eso y simplificando se obtiene algo como que las soluciones se pueden escribir de la forma:

$y(x)=C\int_{0}^{\infty} cos(\frac{\omega^3}{3}+\omega x) d\omega$

La cual tiene relacion con la forma en la que he visto que definen a Ai(x). Pero no veo como podría obtener Bi(x) siguiendo esta forma de resolver, y tampoco entiendo bien el porque solo obtengo una solución y no dos. Entiendo que es al reducir el orden de la ecuacion diferencial con la transformada de Fourier, pero no se si estoy pasando algo por alto o cual es el error.

Agradezco de antemano la ayuda.
Saludos!

[carroza]

Hola.

Usar las técnicas de las transformadas de Fourier para resolver eciaciones diferenciales requiere que dichas transformadas converjan.

En el caso de las funciones de Airy, Ai(x) está acotada, y decrece exponencialmente, por lo que su transformada converge. Sin embargo Bi(x) crece exponencialmente, con lo que la transformada no converge.

Si estas usando las funciones de Airy en WKB, verás que su uso se ciñe al comportamiento de las funciones en las proximidades del punto de retorno, Por ello, no es un problema que Bi(x) crezca exponencialmente conforme x tiende a infinito, ya que solo se usa su valor en un rango finito de x . El punto de retorno corresponde a x=0.

Un saludo

[Valeeen]

Buenos días, muchas gracias por la respuesta. Me quedo claro.

Un saludo!