Otras carreras problema de ecuaciones diferenciales

[marck]

Hola ante todo Gracias por leer el mensaje...tengo un pequeño problema con las ecuaciones diferenciales... es un curso que estoy llevando en al universidad y que me esta trayendo muchos problemas... tengo este problema que no tengo la menor idea como se resuelve....


Probar que la funcion :

y(t)= [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

es una solucion en I de y''(t) + y(t) = f(t) que satisface y(0) =y'(0) =0 donde f es una funcion continua sobre el intervalo I, el cual contiene al cero

[[Beto]]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

La función la puedes escribir así:

$$\lim_{a\to\infty}\int_0^a e^{-x^2}\sin(t-s)f(s)\dd s$$

Para probar lo que te dicen, simplemente tienes que reemplazar la función en la ecuación diferencial, ver si la cumple tomando en cuenta las condiciones iniciales que te dicen, para calcular el valor de algunas constantes que se te presenten en el desarrollo.

Un saludo.

[marck]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

disculpa pero la verdad no entendi lo que hiciste...

porque si era $sin(t-s)$ ahora aparece como $sint - sf(s)ds$



disculpa mi ignorancia en esto, pero esa es mi duda gracias por tomart la molestia de responderme!!!!!!!1

[[Beto]]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

disculpa pero la verdad no entendi lo que hiciste...

porque si era $sin(t-s)$ ahora aparece como $sint - sf(s)ds$



disculpa mi ignorancia en esto, pero esa es mi duda gracias por tomart la molestia de responderme!!!!!!!1

Me falto colocar el paréntesis, ya lo corregí.

[Jose D. Escobedo]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

Marck yo te recomendaria que utilizaras el teorema de convolucion en calculo operacional o en su defecto "Green's function".

[marck]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

mmm la verdad no se de que trata eso de la convolucion ni eso de green's function....

si alguien pudiera porfavor resolverme ese problemita
no es para tarea solo que me entro la curiosidad por resolver problemas de ese tipo. pero ese problema no tengo la menor idea de como resolverlo... gracias a todos!!!

[Jose D. Escobedo]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

Hola ante todo Gracias por leer el mensaje...tengo un pequeño problema con las ecuaciones diferenciales... es un curso que estoy llevando en al universidad y que me esta trayendo muchos problemas... tengo este problema que no tengo la menor idea como se resuelve....


Probar que la funcion :

y(t)= [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

es una solucion en I de y''(t) + y(t) = f(t) que satisface y(0) =y'(0) =0 donde f es una funcion continua sobre el intervalo I, el cual contiene al cero

En primer lugar esta respuesta esta equivocada, porque $y$ y $y'$estan en funcion de $t$; asi $e^{-x^2}$ esta de mas. Puede haber pasado que la hayas copeado mal o que el libro tenga ese especifico error.

Segundo me dices que estas estudiando ecuaciones diferenciales en la universidad; pero que esa no es tu tarea, o sea que estas investigando por tu propia cuenta. Lo cual me parece bien que tengas esa actitud emprendedora. Ahora bien voy a tratar de resolverlo por convolucion, pero si quieres resolverlo utilizando la funcion de Green vas a tener que estudiar la funcion delta de Dirac y las propiedades de la funcion de Green por tu cuenta como lo hiciste esa actitud emprendedora buscando este problema. Despues, una vez que hayas hecho eso lo discutimos y lo resolvemos. Entonces ahora lo que me queda es resolverlo por convolucion.

Antes que nada hay que cambiar de espacio, de el espacio "t" al espacio "p" para esto se utilizan las transfomadas de Laplace.


$L \lbrace f(t)\rbrace= F(p) = \int_0^\infty e^{-pt} f(t) dt \Rightarrow$

De la ecuacion y" + y = f(t) se tiene que:

$\displaystyle \int_0^\infty e^{-pt}\frac{d^2y}{dt^2} dt + \int_0^\infty e^{-pt} y dt = F(p_1) \Rightarrow$

$\displaystyle \int_0^\infty e^{-pt} d(\frac{dy}{dt}) + F(p) =F(p_1)\Rightarrow$

$\displaystyle [ e^{-pt} y']_0^\infty - \int_0^\infty \frac{dy}{dt} d(e^{-pt}) + F(p) = F(p_1)$

$\displaystyle -y'(0) + p \int_0^\infty e^{-pt} dy + F(p) = F(p_1)$

$\displaystyle -y'(0) + p[e^{-pt} y]_0^\infty -p\int_0^\infty y d(e^{-pt}) + F(p)=F(p_1)$

$\displaystyle -y'(0) -py(0) +p^2 F(p) + F(p) = F(p_1)$ ahora si se utiliza las condiciones iniciales $\Rightarrow$

$\displaystyle F(p) = \frac{1}{p^2 + 1} F(p_1) = F(p_2)F(p_1)$ de aqui applicando el teorema de convolucion $\Rightarrow$


$F(p_1) F(p_2) \rightarrow \int_0^t f_1(\tau) f_2 (t-\tau) d\tau \Rightarrow$

$y = \int_0^t f(\tau) \sin (t -\tau) d \tau$

Nada mas te queda por probar que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]