1r ciclo Ecuación diferencial variables separables

[CARLIN]

Hola, estoy bloqueado con esta ecuación diferencial :

$y - xy' = 1 + {x}^{2}y'$

Este es el enunciado: integrar las siguientes ecuaciones diferenciales con variables separadas.


Llevo un rato intentando separar las x de las y pero no lo consigo ¿cómo lo harían?


Con estas dos ecuaciones diferenciales no me surge ninguna idea para separar variables

$xyy' + ({x}^{2} + 1)({y}^{2} -1) = 0$


$(x - {y}^{2}x)dx + (y - {x}^{2 } . y)dy$ = 0

A lo mejor no entiendo bien el enunciado y hay que integrar.
Gracias

[Richard R Richard]

Re: Ecuación diferencial variables separables

la primera

$y - xy' = 1 + {x}^{2}y'$

$y-1=x^2y'+xy'=(x^2+x)y'$

$\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac {y'}{y-1}$


la segunda

$xyy' + ({x}^{2} + 1)({y}^{2} -1) = 0$


$xyy' =-({x}^{2} + 1)({y}^{2} -1)$



$\dfrac{yy'}{{y}^{2} -1} =-\dfrac{{x}^{2} + 1}{x}$


la tercera

$(x - {y}^{2}x)dx + (y - {x}^{2 } . y)dy=0$


$(x - {y}^{2}x)dx =- (y - {x}^{2 } . y)dy$



$(x - {y}^{2}x) =- (y - {x}^{2 } . y)\dfrac{dy}{dx}=- (y - {x}^{2 } . y)y'$

$x(1-y^2)=-yy'(1-x^2)$

$\dfrac{x}{1-x^2}=\dfrac{-yy'}{1-y^2}$



con cada una tienes que reemplazar $y'$ por $\dfrac{dy}{dx}$

dejar un diferencial en cada miembro e integrar

ejemplo el tercero

$\dfrac{x}{1-x^2}=\dfrac{-yy'}{1-y^2}=\dfrac{-y\frac{dy}{dx}}{1-y^2}$

$\dfrac{x}{1-x^2}\dd x=\dfrac{-y }{1-y^2}\dd y$

$\dst \int\dfrac{x}{1-x^2}\dd x=\dst \int\dfrac{-y }{1-y^2}\dd y$


Saludos

[danielandresbru]

Re: Ecuación diferencial variables separables

si agrupas términos te queda $-(x+x^2)y' +y=-1$
$\displaystyle y' -\frac 1{x+x^2} y= \frac 1{x+x^2}$

luego multiplica todo por $\displaystyle e^{-\int \displaystyle \frac{\dd x}{x+x^2}}=1+\frac 1 x$

y si quieres después para que te quede mas fácil puedes hacer un cambio de variable $u=y(1+ \frac 1x)$

te quedará la ecuación diferencial

$u'=\displaystyle \frac 1{x^2}$

[CARLIN]

Re: Ecuación diferencial variables separables

Hola Richard en la primera ED, integré ambas variables pero tengo una duda con el despeje de la y, estas son las dos integrales:

$ln\left\vert{} x \right\vert{} - ln\left\vert{} x+1 \right\vert{}$ + ${C}_{1}$ = $ln\left\vert{} y-1 \right\vert{}$

y es igual los ln de la variable x, por tante, expresé y como e elevado a la variable x, no sé si está bien, a lo mejor me perdí por la propiedades de los logaritmos. Queda:

$ln\left\vert{} x \right\vert{} - ln\left\vert{} x+1 \right\vert{}$ + ${C}_{1}$ = $ln ({e}^{ln\left\vert{} x \right\vert{}- ln\left\vert{} x-1 \right\vert{} + {C}_{1} } )$

A partir de aquí no sabría cómo despejar la y para terminar. Gracias y Feliz Navidad

- - - Actualizado - - -

Hola, en la segunda ED tengo el mismo problema:

as integrales son $\frac{1}{2} . ln\left\vert{} {y}^{2} - 1 \right\vert{}$ = $-\frac{{x}^{2}}{2} - ln\left\vert{} x \right\vert{}$ + C


Empecé así haciendo esto para aislar a la y $\frac{1}{2} . ln ({e}^{\frac{{-x}^{2}}{2} - ln\left\vert{} x \right\vert{}})$ , pero creo que lo tengo mal

[danielandresbru]

Re: Ecuación diferencial variables separables

En la primera lo puedes poner así
$\ln |x| - \ln|x+1|+ \ln |c_2| =\ln |y-1|$

Ya que el logaritmo de una constante es otra constante.

Luego por las propiedades de los logaritmos
$\ln | c_2 (\frac{x}{x+1})| = \ln |y-1|$
Luego
$c_2 \frac x{x+1} = y-1$

- - - Actualizado - - -

En la segunda puedes hacer esto

$\ln \sqrt{y^2-1}=\ln e^{-\frac{x^2}2} -\ln |x|+ ln|c_3|$
Y lo que sigue es lo mismo que en el anterior

[CARLIN]

Re: Ecuación diferencial variables separables

Hola Daniel, logré despejar "y" en la dos, pero para comprobar el resultado de la segunda, la hice en Symbolab, a mí me da y = $\sqrt{({\frac{{e}^{\frac{{-x}^{2}}{2} . C1}}{x}}^{2}}) +1$ el 1 está también dentro de la raíz pero fuera del paréntesis elevado al cuadrado

Sin embargo, en el Symbolab sale casi lo mismo salvo lo que está elevado a la e, C1 - X^2 ¿qué tengo mal?

Aquí está el enlace del symbolab con la solución https://es.symbolab.com/solver/ordin...1%5Cright)%3D0

Gracias

[danielandresbru]

Re: Ecuación diferencial variables separables

Lo que veo que tienes mal es que ese c1 no es parte del exponente de e, c1 multiplica a e

$y=\sqrt{ \Bigg( c \displaystyle \frac {e^{-\frac{x^2}2}}{x} \Bigg)^2 +1}$= $y=\sqrt{ c \displaystyle \frac {e^{-x^2}} {x^2} +1}$