1r ciclo Ecuaciones diferenciales

[CARLIN]

Hola, estoy intentando resolver esta ED de variables separables:

y' + 3y = 8 luego de hallar la solución general tengo que hallar la particular para y(0)=2


$\frac{dy}{dx} + 3y$ = 8


$dy$ = (8 - 3y)dx

$\frac{1}{8-3y} dy = 1 . dx$ Integro las dos variables


$\frac{-1}{3} . ln\left\vert{} 8-3y \right\vert{}$ = $x + C1$

Expresé la y como raíz, x la expresé como $ln {e}^{x}$ y ln C1

elevé todo al cuadrado, y me quedó

$({8-3y})^{-1}$ = $({{e}^{x} . C1})^{3}$

$\frac{1}{8 -3y}$ = $({{e}^{x} . C1})^{3}$


1= $(8-3y) . ({{e}^{x} . C1})^{3}$

Multipliqué todo y me quedó y= $\frac{8{e}^{3x}.C1 - 1}{3{e}^{3x}.C1}$


¿Tengo bien la solución general? Gracias

[Breogan]

Re: Ecuaciones diferenciales

Hola:

Solución de Wolfram:

$\dst y(x) = C_1 \ \ee^{-3 x} + \frac 8 3$

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=bcca0b7ced6fc6c474fc7ea367543dc3

s.e.u.o.

Suerte !

[CARLIN]

Re: Ecuaciones diferenciales

Hola Breogan, ¿cómo desarrollo mi expresión para llegar a la del Wolfram? es que 8/3 sí me da al separar la fracción en 2 pero no acabo de llegar C1e^-3x Gracias

[Breogan]

Re: Ecuaciones diferenciales

Hola:

Hola, estoy intentando resolver esta ED de variables separables:

y' + 3y = 8 luego de hallar la solución general tengo que hallar la particular para y(0)=2


$\frac{dy}{dx} + 3y$ = 8


$dy$ = (8 - 3y)dx

$\frac{1}{8-3y} dy = 1 . dx$ Integro las dos variables


$\frac{-1}{3} . ln\left\vert{} 8-3y \right\vert{}$ = $x + C1$

Expresé la y como raíz, x la expresé como $ln {e}^{x}$ y ln C1

elevé todo al cuadrado, y me quedó

$({8-3y})^{-1}$ = $({{e}^{x} . C1})^{3}$

$\frac{1}{8 -3y}$ = $({{e}^{x} . C1})^{3}$


1= $(8-3y) . ({{e}^{x} . C1})^{3}$

Multipliqué todo y me quedó y= $\frac{8{e}^{3x}.C1 - 1}{3{e}^{3x}.C1}$


¿Tengo bien la solución general? Gracias

No revise todo tu procedimiento, así que puede tener algún error mínimo (p.e. un signo). Pero partiendo de tu ultima expresión:

$\dst y= \frac{8{e}^{3x}.C1 - 1}{3{e}^{3x}.C1}$

separamos en dos fracciones:

$\dst y= \frac{8 \ \cancel{{e}^{3x}.C1}}{3 \ \cancel{{e}^{3x}.C1}} - \frac{1}{3{e}^{3x}.C1}$

simplificamos:

$\dst y= \frac 8 3 - \frac 1 {3 C_1} \ee^{-3x}$

Ahora hacemos $\dst K = - \frac 1 {3 C_1}$ y queda:

$\dst y= \frac 8 3 + K \ \ee^{-3x}$

Y quedo solucionado.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: recorda que tanto C1 como K son constantes de integración arbitrarias, por lo cual podes juntar C1, el signo y otras constantes dentro de K; y en este caso dicha K es igual a la constante C1 de mi mensaje anterior.

Suerte !