1r ciclo Ecuación diferencial homogénea

[CARLIN]

Hola, tengo la siguiente ecuación diferencial:

$y' = \frac{y-x}{y+x}$

Yo la empecé a hacer así: el cambio fue P=y/x

$\frac{dy}{dx}$ =$\frac{y-x}{y+x}$ $\to$ = $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{y}{x} + \frac{x}{x} }$

= $\frac{\frac{y}{x} -1}{\frac{y}{x} +1}$


Luego $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{dp}{dx} . x + P$

$\frac{dp}{dx}.x + P$ = $\frac{P-1}{P+1}$ $\to$ $\frac{dp}{dx}.x$ = $\frac{P-1}{P+1} - P$

$\to$ $\frac{dp}{dx} .x$ = $\frac{2p}{p+1}$ + C



dp.x . (p+1) = 2p .dx

integro las dos variables
$\int\frac{dp . (p+1)}{2p}$ = $\int\frac{dx}{x}$


$\frac{1}{2} . (p + ln\left\vert{} x \right\vert{})$ = $ln\left\vert{} x \right\vert{}$

¿Tengo bien la ED? ¿cómo despejarían la "y"?

Gracias

[danielandresbru]

Re: Ecuación diferencial homogénea

$\frac{dp}{dx}.x$ = $\frac{P-1}{P+1} - P$

$\to$ $\frac{dp}{dx} .x$ = $\frac{2p}{p+1}$ + C

No entendí muy bien lo que quisiste hacer aquí

[Breogan]

Re: Ecuación diferencial homogénea

Hola:

Lo pase por Wolfram, y el resultado no es ni parecido.
Lo voy a intentar resolver, por el mismo metodo que el tuyo.

La ED original es:

$\dst y'(x) = \frac{y(x) - x}{y(x) + x}$

$\dst y' = \frac{y - x}{y + x}$

Hacemos el cambio de variables $\dst p(x) = y(x) / x \quad \Rightarrow \quad y = p \ x$, calculando la derivada de y resulta $\dst y' = p' \ x + p$, reemplazando todo esto en la ecuación original:

$\dst p' \ x + p = \frac{p \ x - x}{p \ x + x}$

Operamos:

$\dst p' \ x + p = \frac{p - 1}{p + 1}$

$\dst p' \ x = \frac{p - 1}{p + 1} - p$

$\dst p' \ x = \frac{p - 1 - p (p +1)}{p + 1}$

$\dst p' \ x = \frac{ - 1 - p^2 }{p + 1} = - \ \frac {p^2 + 1}{p + 1}$

$\dst p' \frac{p + 1}{ p^2 + 1} = - \ \frac 1 x$

y por ultimo:

$\dst \frac{p}{p^2 + 1} \ dp + \frac 1{p^2 + 1} \ dp = - \ \frac 1 x \ dx$

y de acá, si no me equivoque, solo te queda integrar. También te dejo el resultado de Wolfram:



s.e.u.o.

Suerte !