Buenos días a todos,
Podríais ayudarme con un problema que me trae de cabeza?
El tema que me ocupa ahora mismo es el siguiente:
Sabemos que la solución a la ecuación de Legendre es , siendo esta solución una serie de potencias en la variable , es decir . La solución no singular en implica que se cumpla (con ). En este caso la solución se reduce a un polinomio (polinomios de Legendre).
Pues bien, tras esta breve introducción expongo mi problema. Cuando calculo la relación de recurrencia mediante la sustitución de la serie mostrada arriba en la ecuación de Legendre obtengo lo siguiente:
(De la cuál es fácilmente deducible (si consideramos que la solución debe estar acotada) que para que los coeficientes sean nulos a partir de cierto valor, entonces se debe cumplir la condición expuesta anteriormente .)
En teoría a partir de aquí también debería poder calcularse su radio de convergencia, y para ello utilizo el criterio de convergencia de Gauss, que dice lo siguiente:
Si una serie tiene por término genérico , y para todo índice k suficientemente grande se tiene que los términos sucesivos son del mismo signo y que
(donde p es un número natural )
Entonces la serie diverge si
Este criterio viene en K. Knopp, Infinite Sequences and series, Dover.
Pero en mi caso obtengo:
Con lo cuál creo no poder emplear este criterio. Sin embargo en teoría sí podría pues en el enunciado de este ejercicio me ponen como ayuda este criterio, y vería extraño que lo pusieran sin que pudiera usarse. Aparte he revisado varias veces el desarrollo de la ley de recurrencia y creo que es correcto.
Así que os agradecería cualquier ayuda para ver en qué me he equivocado o qué podría hacer, porque estoy algo desconcertado
Un saludo
Podríais ayudarme con un problema que me trae de cabeza?
El tema que me ocupa ahora mismo es el siguiente:
Sabemos que la solución a la ecuación de Legendre es , siendo esta solución una serie de potencias en la variable , es decir . La solución no singular en implica que se cumpla (con ). En este caso la solución se reduce a un polinomio (polinomios de Legendre).
Pues bien, tras esta breve introducción expongo mi problema. Cuando calculo la relación de recurrencia mediante la sustitución de la serie mostrada arriba en la ecuación de Legendre obtengo lo siguiente:
(De la cuál es fácilmente deducible (si consideramos que la solución debe estar acotada) que para que los coeficientes sean nulos a partir de cierto valor, entonces se debe cumplir la condición expuesta anteriormente .)
En teoría a partir de aquí también debería poder calcularse su radio de convergencia, y para ello utilizo el criterio de convergencia de Gauss, que dice lo siguiente:
Si una serie tiene por término genérico , y para todo índice k suficientemente grande se tiene que los términos sucesivos son del mismo signo y que
(donde p es un número natural )
Entonces la serie diverge si
Este criterio viene en K. Knopp, Infinite Sequences and series, Dover.
Pero en mi caso obtengo:
Con lo cuál creo no poder emplear este criterio. Sin embargo en teoría sí podría pues en el enunciado de este ejercicio me ponen como ayuda este criterio, y vería extraño que lo pusieran sin que pudiera usarse. Aparte he revisado varias veces el desarrollo de la ley de recurrencia y creo que es correcto.
Así que os agradecería cualquier ayuda para ver en qué me he equivocado o qué podría hacer, porque estoy algo desconcertado
Un saludo
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