1r ciclo Ayuda con unas ecuaciones

[KORKO]

Buenas queridos foistas quiero solicitarle su ayuda necesito resolver estas ecuaciones:

xy'-y=x (al 2) e (a la x)
y-xy'=y (a la 3) y'

les agradezco mucho .

[[Beto]]

Re: Ayuda con unas ecuaciones

Veamos, intentaré resolver la segunda:

$$y-xy'=y^3 y'$$

Haré $y'=p$, y luego escribiré la ecuación de la siguiente forma:

$$x=\frac{y}{p}-y^3$$

Luego a la última ecuación la derivo respecto de $y$, y obtengo:

$$\frac{1}{p}=\frac{p-\dst y\frac{\dd p}{\dd y}}{p^2}-3y^2$$

De esta última expresión llegarás a que:

$$\frac{\dd p}{p^2}=-3y\dd y$$

Integrando obtendrás que:

$$p=\frac{2}{3y^2}$$

Finalmente reemplazando (2.4) en (2.1) obtienes que:

$$x=\frac{y^3}{2}$$

La otra es similar solo que se despeja $y$.

Un saludo.

[polonio]

Re: Ayuda con unas ecuaciones

Pues vamos a por la segunda:

$xy'-y=x^{2}e^{x}$

Resolvemos primero la ec. diferencial homogénea:

$xy'-y=0$

que es de variables separadas:

$y'-\frac{1}{x}y=0$

$y'=\frac{1}{x}y$

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

y se integra de forma inmediata:

$\ln y=\ln x+\ln C$

$y_{H}=Cx$ (sol. de la ec. homogénea)

Ahora, buscamos una solución particular. Lo podemos hacer por vaciación de los parámetros o por coeficientes indeterminados. Vamos a hacerlo por coeficientes indeterminados: al ser el término inhomogéneo $x^{2}e^{x}$, ensayamos soluciones de la forma $y_{P}=x^{\alpha}e^{x}$.

Tomamos $\alpha=1$ y probamos:

$y_{P}=xe^{x}$,

$y'_{P}=e^{x}+xe^{x}$,

sustituimos en la ec. diferencial y vemos que la cumple:

$xy'_{P}-y_{P}=x(e^{x}+xe^{x})-xe^{x}=x^{2}e^{x}$

De esta forma, una sol. particular válida es:

$y_{P}=xe^{x}$ (sol. particular)

La sol. general será, por tanto:

$y=Cx+xe^{x}$

$y=x(C+e^{x})$ (sol. general)

(No olvides sustituir la solución en la ec. diferencial para comprobar que es correcta, pues con las prisas es fácil que se cuele algún fallo de cálculo.)