Otras carreras Sistema Masa resorte

[JONATHANL]

Hola solicito una idea de como deducir el siguiente planteamiento graficamente. Por favor


Un modelo de un sistema masa/resorte es 4x´´+${e}^{ -0.1t}$ x=0. Por inspeccion de la ecuacion diferencial solamente, describase el comportamiento del sistema durante un largo periodo de tiempo.

Ahora bien, se que t es la contante de resorte la cual varia en el tiempo , como se comportaria el sistema si entonces t tiende a infinito? es lo que entendi del ejercicio, y ahora si bien es asi como hago para imaginar la grafica? he intentado graficar esa funcion pero los programas me arrojan graficos poco razonables y otros no lo hacen , como hago?

[alar]

Re: Sistema Masa resorte

Piensa cómo sería el sistema para un $t_{0}$ fijo, esto te dará una EDO que si sabrás resolver ya que como bien has dicho $e^{-0.1t}$ está relacionado con la constante del muelle, puedes resolver y dibujar la gráfica, y luego hacer lo mismo para $t_{1}>t_{0}$ y luego para un tiempo T tan grande que $e^{-0.1T}=0$ para ver cuál es la ecuación que tienes ahí.

[Alriga]

Re: Sistema Masa resorte

... se que t es la contante de resorte ...

No, "t" es el tiempo, no la constante del resorte.

Tu ecuación diferencial es:

$$4 \ x''(t) + \left (\dfrac 1 {e^{t/10}}\right )\cdot x(t)=0$$

Como te dicen que corresponde a un sistema masa/resorte, yo la compararía con la ecuación diferencial de un sistema masa/resorte convencional:

$$m \ x''(t) + k \ x(t)=0$$

Para el masa/resorte convencional, elijo que en el instante inicial t=0 sea x(0)=0 con una velocidad x’(0)=V

La solución de esta ecuación diferencial es la muy conocida expresión:

$$x(t)=\sqrt{\dfrac m k} \ V \ \sin \left (\sqrt{\dfrac k m} \ t \right )$$

Es una senoidal de amplitud "A" constante:

$$A=\sqrt{\dfrac m k} \ V$$

Y de período "T" constante:

$$T=2 \pi \sqrt{\dfrac m k}$$

Si comparamos las ecuaciones (1) y (2) podemos asimilar

4=m

$k \approx \dfrac 1 {e^{t/10}}$

Vemos que la “constante del muelle” disminuye al aumentar el tiempo

Si ahora consideramos que las expresiones (3) (4) y (5) son cualitativamente adecuadas al inicio del movimiento, como “k” disminuye con el tiempo, vemos que cualitativamente:

* La amplitud “A” aumenta con el tiempo

* El período “T” también aumenta con el tiempo

Luego creo que podemos atrevernos a decir que la solución de la ecuación diferencial

$$4 \ x''(t) + \left (\dfrac 1 {e^{t/10}}\right )\cdot x(t)=0$$

Será cualitativamente, al menos al principio, un movimiento oscilatorio en el que su amplitud y su período tendrán tendencia a ir ambos aumentando con el tiempo, algo parecido a esto:



Saludos.

[JONATHANL]

Re: Sistema Masa resorte

Muchas Gracias Pana. Eres un Sol

- - - Actualizado - - -

Si ahora tengo la ecuacion 4"+tx=0 entonces se hace el mismo planteamiento y por lo que haciendo mis calculos la grafica haria el proceso contrario a crecer conforme al periodo , no es asi?

[Alriga]

Re: Sistema Masa resorte

.. Si ahora tengo la ecuacion 4 x"+t x = 0 entonces se hace el mismo planteamiento y por lo que haciendo mis cálculos la gráfica haría el proceso contrario a crecer conforme al periodo , no es asi?

En efecto, ahora $k \approx t$ y sería de esperar que cualitativamente:

* La amplitud $A=\sqrt{\dfrac m k} \ V$ disminuya con el tiempo

* El período $T=2 \pi \sqrt{\dfrac m k}$ también disminuya con el tiempo

Sería algo similar a esto:



Saludos.