Secundaria Ecuaciones Diferenciales

[BlackCamilo]

Buenas noches, tengo una pregunta sobre ecuaciones diferenciales, y es que no se dentro de que categoria de ecuacion deifrencial se puede catalogar la siguiente ecuacion:

$\frac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+a{x}^{2}\frac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+ax({\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}})^{2}+bx=0$

Siendo a y b constantes. Muchas gracias por su ayuda

Tambien queria saber si es posible, como solucionar esta ecuacion diferencial, ahora si, muchas gracas de antemano

[surrealfrog]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Es una ecuación diferencial no lineal. Hasta donde veo sólo se la puede resolver numéricamente. Puedes buscar algunos métodos usados para resolver ecuaciones diferenciales en dinámica no lineal.

[BlackCamilo]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Muchas gracias, sabes donde explican bien las ecuaciones no lineales para poder referenciarlo en mi trabajo de investigacion?

[surrealfrog]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Conozco "Non linear dynamics and chaos" de Strogatz

[BlackCamilo]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Listo muchas gracias, lo estare viendo

[Alriga]

Re: Ecuaciones Diferenciales

... tengo una pregunta sobre ecuaciones diferenciales, y es que no se dentro de que categoría de ecuación diferencial se puede catalogar la siguiente ecuación:

$\dst (1+a{x}^{2}) \ \frac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+ax \ \left ({\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right )^{2}+bx=0$

Siendo a y b constantes ...

Ecuación diferencial ordinaria de 2º orden no lineal

* Ordinaria = hay una sola función incógnita, "x" que depende de una sola variable "t"

* De 2º orden = la derivada de mayor orden que aparece es la derivada 2ª $\Rightarrow$ x''(t)

* No lineal porque una de las derivadas aparece al cuadrado, en concreto $[x'(t)]^2$

... También quería saber si es posible, como solucionar esta ecuación diferencial, ...

Este tipo de ecuaciones normalmente hay que resolverlas mediante métodos numéricos para valores concretos de "a" y "b" y 2 condiciones iniciales conocidas, normalmente $x(a)=x_a$ y $x'(a)=v_a$ por ejemplo para:

a=3 y b=2

$(1+3{x}^{2}) \ \dfrac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+3x\left ({\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right )^{2}+2x=0$

Con, por ejemplo

$x(0)=1$

$x'(0)=2$

Una introducción a los métodos numéricos más comunes puedes verla por ejemplo aquí: Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sobre matemáticas para métodos numéricos en general, puedes mirar también Mathematics for Computer Science

Saludos.

[carroza]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Buenas noches, tengo una pregunta sobre ecuaciones diferenciales, y es que no se dentro de que categoria de ecuacion deifrencial se puede catalogar la siguiente ecuacion:

$\frac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+a{x}^{2}\frac{\mathrm{{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+ax({\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}})^{2}+bx=0$

Siendo a y b constantes. Muchas gracias por su ayuda

Tambien queria saber si es posible, como solucionar esta ecuacion diferencial, ahora si, muchas gracas de antemano

Hola. Hay una forma curiosa de resolver esta ecuación.

Lo primero es darse cuenta que la ecuación no depende explicitamente de la variable t. Solo depende de las derivadas de x con respecto a t.

Eso implica que si encontramos una solución de la ecuación $x(t)$, entonces si desplazamos t una cantidad arbitraria h, $x(t+h)$ también sería solución de la ecuación. Esto pasa en muchas situaciones en física, por ejemplo cuando uno resuelve las ecuaciones del oscilador armónico, $m {d^2 x \over dt^2} = - K x$. La solución es $x = A \cos(\omega t + \phi)$, donde $\phi$ es arbitrario.

Este hecho sugiere que es conveniente cambiar la variable dependiente y la independiente, y considerar $t(x)$. Por lo anterior, si $t(x)$ es una solución de la ecuación anterior, entonces $t(x) + h$ también será solución. Este hecho indica que podemos esperar que la ecuación que cumple $t(x)$ no dependa explicitamente de $t(x)$, sino sólo de sus derivadas.

Para hacer este cambio, tenemos en cuenta que ${d x \over d t} = 1/t'$, donde $t' = {d t \over d x}$. Por otro lado, ${d^2 x \over d t^2} = -t''/(t')^3$, donde $t'' = {d^2 t \over d x^2}$. Con esto, la ecuación nos queda

$(-t''/(t')^3)(1 + a x^2) + a x/(t')^2 + b x = 0$.

Considerando que $t'\ne 0$, multiplicamos por $(t')^3$ y tenemos

$-t''(1 + a x^2) + a x t' + b x (t')^3= 0$,

que, como vemos, no depende explicitamente de $t(x)$, sino solo de sus derivadas. Si ahora definimos $y(x) = t' = {dt \over dx}$, tenemos

$-y'(1 + a x^2) + a x y + b x y^3= 0$, que es una ecuación de primer orden, muy facil de resolver:

${y' \over a y + b y^3} = {x \over 1 + a x^2}$


Un saludo