Otras carreras Ecuación diferencial lineal por factor integrante

[hecare]

Buenas No logro entender la solucion a esto

y'cosx + ysenx=1

me seria de mucha ayuda gracias

[MrM]

Re: ecucacion diferencial lineal por factor integrante

Buenas No logro entender la solucion a esto

y'cosx + ysenx=1

me seria de mucha ayuda gracias

Asumiré, dado que no lo dices explícitamente, que $y \equiv y(x)$ es la función que te piden, mientras que x es una variable.
El procedimiento para resolver esa ecuación es el siguiente:

a) En primer lugar, buscamos la solución de la homogénea:

$\frac{dy}{dx} cos(x) + y sen(x)=0 \rightarrow \frac{dy}{dx} cos(x) =- y sen(x) \rightarrow \frac{dy}{y}=-tan(x) dx$

(aquí no he hecho más que operar algebraicamente).
A continuación, integramos a ambos lados:

$\int \frac{dy}{y}=- \int tan(x) dx \rightarrow ln(y)=ln(cos(x))-C \rightarrow$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde se ha usado $\int tan(x) dx=ln(cos(x))+C$

Ahora, renombramos a $A \equiv e^{-C}$, que es una constante arbitraria mayor que cero, y usamos la propiedad $e^{ln(x)}=x$ para llegar al resultado de la homogénea:

$y(x)=A cos(x)$, que, en efecto, es solución a la homogénea.

Notar que, como es lógico, depende de una constante arbitraria por ser una ecuación de primer orden.

b) Una vez resuelta la homogénea, debemos encontrar una solución particular de la no homogénea. Aquí ya no hay un método fijo, es simplemente práctica. En este caso se me ocurre probar con el seno:

$t(x)=sin(x)$
$\frac{dt}{dx}cos(x)+tsin(x)=cos^2(x)+sin^2(x)=1$

En efecto, el seno es solución particular de la ecuación. Entonces, la solución final más general será la suma de la solución a la homogénea más la solución particular de la no-homogénea:

$y(x)=Acos(x)+sin(x)$.

Un saludo.