2o ciclo Transformada de Fourier

[The Higgs Particle]

Hola, buenas:

Estoy viendo la transformada de Fourier como herramienta para resolver problemas dinámicos y me ha surgido una duda. Viendo, por ejemplo, el GIF de este enlace de Wikipedia entiendo la transformada de Fourier como la transformación de una función en su serie de Fourier, de forma que cada seno/coseno lleva asociada una componente de frecuencia $\omega$ que es mayor o menor. Entonces, la transformada de Fourier te daría cuán importante es cada una de las componentes de $\omega$ a la hora de descomponer la función inicial.

Así, si por ejemplo tengo el problema del oscilador armónico (supongamos débilmente amortiguado):

$g''(t)+2 \gamma g'(t) + \omega_0^2 g(t)= \delta (t)$

Se tiene que:

$\hat{g} (\omega) = \dst \frac{-1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{(\omega + i \gamma)^2 - \Omega_0^2}$

$g(t)=e^{-\gamma t} \cdot \dst \frac{sin(\Omega_0 t)}{\Omega_0}$

donde $g$ es la función de Green (retardada, por construcción) y $\Omega_0^2= \omega_0^2 + \gamma^2$


Ahora, si cojo MATLAB obtengo para la representación de $g(t)$ (valores $w_0 = 4; \gamma=0.5$):

Pero para la transformada de Fourier obtengo algo distinto a lo que esperaba (una serie de líneas tipo delta para diferentes frecuencias):

Entonces no sé si la estoy obteniendo mal en MATLAB o si es que he interpretado mal lo que es una transformada de Fourier.

[Lindilo]

Re: Transformada de Fourier

Unos detalles:
La relación no debería ser $\Omega_0^2= \omega_0^2 - \gamma^2$ (con un signo menos) ?

La transformada me queda distinta (cambiando un signo): $\hat{g} (\omega) = \dst \frac{-1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{(\omega - i \gamma)^2 - \Omega_0^2}$

La función g(t) no la había visto nunca con una delta de dirac, aunque parece que tiene sentido. Yo solo tengo calculada la g(t) con la EDO igualada a 0 (sin la delta), y me queda algo similar.

No entiendo por qué la primera gráfica empieza siendo negativa, no debería empezar positiva?


Con estos detalles a parte, te recomiendo que pruebes a hacer $\gamma = 0$, en este caso te queda una asíntota en $\omega = 4$ , creo que esto ya es más satisfactorio.

Sin embargo tampoco puedo explicar mucho, mi nivel es similar al tuyo.

[The Higgs Particle]

Re: Transformada de Fourier

Unos detalles:
La relación no debería ser $\Omega_0^2= \omega_0^2 - \gamma^2$ (con un signo menos) ?

Sí, me he equivocado al copiarlo aquí, perdona.

La transformada me queda distinta (cambiando un signo):

$\hat{g} (\omega) = \dst \frac{-1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{(\omega - i \gamma)^2 - \Omega_0^2}$

La transformada creo que nos queda igual; he puesto el signo - antes de la fracción del $\sqrt{2 \pi}$

La función g(t) no la había visto nunca con una delta de dirac, aunque parece que tiene sentido. Yo solo tengo calculada la g(t) con la EDO igualada a 0 (sin la delta), y me queda algo similar.

Estrictamente es que la función de Green es la solución para la ecuación del armónico simple a una delta de Dirac. Lo que pasa es que puedes tomar las homogéneas y utilizar las condiciones de empalme.

No entiendo por qué la primera gráfica empieza siendo negativa, no debería empezar positiva?

Sí, y no entiendo muy bien por qué me ha salido así, quizá se me ha colado un signo en el script, pero vamos, que para este caso no es importante porque la forma es similar (un seno modulado por la exponencial) y lo que me inquieta es la diferencia entre la transformada que obtengo y la que esperaraba.

Con estos detalles a parte, te recomiendo que pruebes a hacer

$\gamma = 0$, en este caso te queda una asíntota en $\omega = 4$ , creo que esto ya es más satisfactorio.

Sí, si de hecho hacer que $\gamma \to 0$ es la mejor forma para obtener la solución al caso no amortiguado precisamente porque tienes una patología en la función explícitamente.

Sin embargo tampoco puedo explicar mucho, mi nivel es similar al tuyo.

Bueno, no te preocupes, creo que es normal porque es algo que explica muchos fenómenos diferentes y hay que darle su tiempo para ver todas las relaciones que tiene, y a mí aún me falta bastante xDD

[Lindilo]

Re: Transformada de Fourier

La transformada creo que nos queda igual; he puesto el signo - antes de la fracción del $\sqrt{2 \pi}$

Yo también, pero además me sale otro signo menos en el denominador, dentro del paréntesis.


He visto que las deltas de dirac para transformadas de funciones sinusoidales salen en la parte imaginaria de la transformada. Representando la parte imaginaria en este caso se obtiene para $\gamma = 0$ una delta centrada en 4, y para otros valores (cuando la amplitud decrece con el tiempo) es como si la delta se "relajase".

Y la parte real tiene su similitud con una delta de dirac, solo que en x=0 vale +infinito y -infinito a la vez :P