2o ciclo Problema en EDPs

[The Higgs Particle]

Hola, tengo un tubo longitud $L$ con los extremos abiertos a través de lo que sale una sustancia que denotaré $\rho (x)$ cuya cte. de difusión es $D$. Al mismo tiempo, ésta se crea en el interior de dicho tubo a una velocidad de $c_0 \rho (x)$. Me piden saber si es posible la existencia de una solución estacionaria cuando $\rho (x) = \rho_0 \delta(x - \dst \frac{L}{2})$.

Por cómo está planteado el problema, no sé ninguna condición inicial pero las condiciones de contorno son: $\rho (0,t)= \rho (L,t) = 0$.
Se me han ocurrido dos formas de hacerlo:

1. Plantear la EDP y, a partir de ahí, el problema Sturm-Liouville asociado:

$\left( \partial_t - D \partial_x^2 \right) \rho(x) = c_0 \rho_0 \delta \left( x -\dst \frac{L}{2} \right)$

donde he puesto como "forzamiento" (es decir, como flujo de difusión) el hecho de que se están creando más moléculas. En cualquier caso, esto correspondería a un problema de Sturm-Liouville tipo 2.


2. Aplicar separación de variables.
Para hacer esto me baso en que, para que sea una situación estacionaria, en cada punto, deben crearse las mismas moléculas de las que están yéndose por difusión.

- Por lo tanto, he de calcular, para dicho punto $x_0$, las moléculas que se crean en el tiempo: $\rho_{c} (x_0)$. Para ello:

$\dst \frac{\dd \rho(x_0)}{\dd t} = c_0 \rho(x_0) \to \boxed{ \rho_{c} (x_0) = k e^{c_0 t}}$; con $k =$ cte.

- Ahora calculo las que se van por difusión dado un punto concreto: $\rho_{d} (x_0)$, lo cual es solución de la ecuación en DP homogénea:

$\left( \partial_t - D \partial_x^2 \right) \rho_d(x_0) = 0$

Entonces:

$\rho_d(x) = \Psi(x) \cdot \phi (t)$

de donde:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por lo que:

$\phi(t) = A e^{-\lambda t}$

$\Psi(x)=B \cos(\omega L) + C \sin( \omega x)$

Aplicando las cc para obtener la expresión de $\Psi (x)$:
i) $\Psi (0) = B =0$
ii) $\Psi (L) =C \sin(\omega L) = 0 \to \omega = \dst n \frac{\pi}{L}$
Luego:

$\rho_d(x_0,t) = A e^{-\lambda t} \cdot C \sin(\omega x_0)$

Y sabiendo que, para t=0, debe cumplirse $\rho_d(x_0, t=0) = k$:

$\rho_d(x_0,0) = AC \sin(\omega x_0) = k \to AC = \dst \frac{k}{\sin (\omega x_0)}$

Luego:

$\boxed{\rho_d(x_0, t) =k e^{-\lambda t}}$

De este modo, en un punto $x_0$ tenemos:

$\rho(x_0,t) = \rho_c(x_0,t) - \rho_d(x_0,t) = k e^{c_0 t} - k e^{- \lambda t}$

lo cual es nulo únicamente si: $c_0 = - \lambda$ (lo cual ya me resulta extraño porque en teoría $c_0$ y $\lambda$ son ambos positivos); es decir, sí existiría una solución dadas estas condiciones que da lugar a una situación estacionaria. Sin embargo, para esta forma de resolverlo ni siquiera he usado la expresión de $\rho(x) = \rho_0 \delta(x- \dst \frac{L}{2})$ y no sé si está bien. ¿Qué pensáis?