Otras carreras Demostración Transformada de Fourier

[danielandresbru]

Hola quería saber la deducción de la transformada de fourier, o bien la demostración de la dualidad de la transformada de fourier.
Por lo que he buscado esta se obtiene de llevar el límite cuando T tiende a infinito de la serie de fourier de una función periódica en su forma compleja

$f(t)= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \Bigg( \int_{-T/2}^{T/2} f( \xi) \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{T} k \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \frac{2 \pi}{T} k t} \cdot \frac{2 \pi}T =$ $\displaystyle \lim_{T \to \infty} \hspace{1mm} \lim_{n \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \Bigg( \int_{-T/2}^{T/2} f( \xi) \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{T} k \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \frac{2 \pi}{T} k t} \cdot \frac{2 \pi}T$

Se le llama a $\displaystyle \frac{2 \pi}T k= \omega_k$, y con ello
$\displaystyle \omega_{k+1} -\omega_k=\Delta \omega = \frac{2 \pi}T$, y con ello se llega a que
$f(t)= \displaystyle \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{-\frac {\pi}{\Delta \omega}}^{\frac {\pi}{\Delta \omega}} f( \xi) \cdot e^{-i \omega_k \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \omega_k t} \cdot \Delta \omega =$ $\displaystyle \lim_{ \Delta \omega \to 0} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{-\frac {\pi}{\Delta \omega}}^{\frac {\pi}{\Delta \omega}} f( \xi) \cdot e^{-i \omega_k \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \omega_k t} \cdot \Delta \omega$ $= \displaystyle \frac 1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi) \cdot e^{-i \omega \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \omega t} \cdot \dd \omega$

En los libros que he visto pasan sin más de la suma a la integral, pero lo que no se muy es por que esa suma infinita da una integral impropia (de -infinito a infinito), porque bien cualquier integral que tenga limites de integración finitos también da una suma infinita, no se bien si es porque es mayor el infinito de la n que el de la T, y si es así no veo el porqué.

No se si conocéis alguna referencia en donde se haga este paso con un poco mas de cuidado.
Muchas gracias de antemano