Otras carreras problema de ecuaciones diferenciales

[nelson85]

Hola como están, estoy estudiando para mi final de análisis matemático 2 y me encontré con un problema que no puedo resolver, a continuación les paso el mismo:

Qué valor debe tomar la constante K(lambda) para que la solución de la ecuación diferencial que cumple con x(0) = x'(0) = 0 sea una solución pura de frecuencia 1/2PI.
Ecuación diferencial: x''(t) + Kx'(t) + x(t) = 1

No quisiera dejarles solo el enunciado y que me contesten algo, pero la verdad es que no se por donde encarar el problema, no sé si esta es una ecuación homogénea, puesto que no es igual a 0, pero tampoco tiene una función, solamente un 1
espero puedan ayudarme
muchas gracias

[Metaleer]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

Hola como están, estoy estudiando para mi final de análisis matemático 2 y me encontré con un problema que no puedo resolver, a continuación les paso el mismo:

Qué valor debe tomar la constante K(lambda) para que la solución de la ecuación diferencial que cumple con x(0) = x'(0) = 0 sea una solución pura de frecuencia 1/2PI.
Ecuación diferencial: x''(t) + Kx'(t) + x(t) = 1

No quisiera dejarles solo el enunciado y que me contesten algo, pero la verdad es que no se por donde encarar el problema, no sé si esta es una ecuación homogénea, puesto que no es igual a 0, pero tampoco tiene una función, solamente un 1
espero puedan ayudarme
muchas gracias

Hola,

No se trata de una EDO homogénea ya que como has observado, el segundo miembro no es 0, tras pasar al primer miembro todo lo que sea la variable dependiente y sus derivadas, sino que tienes un 1.

La teoría de ecuaciones diferenciales lineales nos dice que la solución general de una EDO lineal tiene estructura de subespacio afín, es decir, se compone de dos sumandos: la solución general de la EDO homogénea asociada, más una solución particular de la ecuación original.

Al ser de coeficientes constantes la ecuación, la parte homogénea:

$x'' + K x' + x = 0$

se puede resolver construyendo la ecuación característica asociada, a saber:

$r^2 + K r + 1 = 0$

que tiene como raíces

$\displaystyle r = \frac{1}{2}\,\left( -K - {\sqrt{-4 + K^2}} \right)$

y

$\displaystyle r = \frac{1}{2}\,\left( -K + {\sqrt{-4 + K^2}} \right)$

Como puedes ver la naturaleza de las soluciones está asociada al discriminante (argumento de la raíz cuadrada) que nos aparece por ahí. Si es positivo, tendremos exponenciales reales. Si es negativo, tendremos combinación lineal de senos y cosenos (exponenciales imaginarias, en virtud de la fórmula de Euler), y si es 0, tendremos una raíz doble (multiplicidad algebraica dos), que para obtener soluciones linealmente independientes, al segundo sumando de la solución general de la EDO homogénea asociada lo tendrás que multiplicar por $t$.

Para la solución particular, se suelen enseñar dos métodos: el método de variación de las constantes/parámetros (método de Lagrange) o el método de los coeficientes indeterminados. En este caso, como ninguna solución de la homogénea puede ser un número (distinto de 0), ensayas una solución particular en forma de número, que te resultará ser el propio 1 (el método de los coeficientes indeterminados).

Ahora, para lo que te piden en el enunciado... tienes que coger la solución referida a senos y cosenos, y obligar a que la frecuencia sea esa que te indican; el valor de $K$ variará en función del periodo $T$, que ya sabes que no es otra cosa que

$\displaystyle f = \frac{1}{T}$

Esto es un esbozo de lo que tienes que hacer, si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

Saludos.

[nelson85]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

Gracias por responder tan pronto, estuve analizando el problema en base a lo que has escrito y me quedó la duda, de si, al momento de proponer mi solución particular, usando el método de los coeficientes indeterminados, está deberá ser 1, o deberá ser un producto de senos y cosenos? pregunto si es un producto porque en las condiciones iniciales me indica que x(0) = x'(0) = 0, por lo que si la función y su derivada es igual a 0, teniendo senos y cosenos, creo que la única forma de que esto suceda es teniendo un producto de seno y coseno

es correcto?
gracias!

[Metaleer]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

Hola,

Cuando pruebes una solución particular debes de fijarte en el término no homogéneo, que en este caso es 1, y no en la solución que hayas obtenido al resolver la homogénea asociada. Otra cosa es que en la parte no homogénea tengas alguna función que precisamente sea solución de la homogénea; en este caso si intentas sustituir puede que te quede algo como 0 = parte homogénea. En este caso de tu ecuación no tenemos nada así, así que ensayas una función que es del estilo de la parte no homogénea: una constante, $x_p(t) = a$, que al sustituirla en la ec. original te da $x_p(t) = a = 1$, luego ésta es la solución particular.

Con las condiciones iniciales lo único que tienes que hacer es imponer esas dos condiciones e intentar despejar las dos constantes de integración que aparecen, y con eso ya tienes la solución pedida, y ya impones esa condición de la frecuencia.

Observa que al sumarle 1 a la solución lo único que haces es desplazar verticalmente la gráfica, pero el periodo en sí queda sin cambiar, así que para calcular el valor de $K$ puedes obviar el 1 ese sumando.

Espero haberte respondido a lo que preguntas, si no, vuelve a preguntar, a ver si lo entendemos mejor.

Saludos.

[nelson85]

Re: problema de ecuaciones diferenciales

gracias nuevamente, me voy a sentar a analizar tus respuestas y les comento como fui